TRIGONOMETRIA UNICENTRO

UNICENTRO  Se z = cos [latex]\left | \frac{\Pi }{5} \right |[/latex]+ i sen [latex]\left | \frac{\Pi }{5} \right |[/latex], então a parte real de [latex]w= \frac{1}{1-z}[/latex] é:
[latex]A) -\sqrt{2}[/latex]

[latex]B) -\frac{\sqrt{5}}{5}[/latex]

[latex]C) \frac{1}{2}[/latex]

[latex]D) \frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

[latex]E) 1[/latex]

Olá,

Temos que |z| =1, isso já facilita bastante a lei de Moivre.

Se multiplicar θ por 5 vai achar Cos(η) e S(η) , que são números conhecidos.

A lei de Moivre vai ficar assim :

Z^5 = |z|^5 ( Cos(η) + S(η)i^5             Sendo Cos(η)= -1 e Sen(η) = 0
Z^5 = 1 ( -1 + 0.i )
Z^5 = -1, logo Z = -1 


W= 1/ (1 + 1) --> W = 0,5 + 0i          Parte real = 0,5  Gab C

MarioCastro escreveu:Olá,

Temos que |z| =1, isso já facilita bastante a lei de Moivre.

Se multiplicar θ por 5 vai achar Cos(η) e S(η) , que são números conhecidos.

A lei de Moivre vai ficar assim :

Z^5 = |z|^5 ( Cos(η) + S(η)i^5             Sendo Cos(η)= -1 e Sen(η) = 0
Z^5 = 1 ( -1 + 0.i )
Z^5 = -1, logo Z = -1 


W= 1/ (1 + 1) --> W = 0,5 + 0i          Parte real = 0,5  Gab C

Não entendi como vc sabe que o modulo de z é 1.
O que é lei de Moivre?

A forma trigonométrica de um complexo é : 

Z = |z|(Cosθ + i.Senθ)

Na questão ele fala que Z = 1.[cos(η/5) + i.Sen(η/5)]

Tem um ''1'' implícito multiplicando o Ciso.

Acredito que eu não seja a melhor pessoa para te ensinar Lei de Moivre, mas vamos lá...

Tem a primeira e a segunda Lei de Moivre, a primeira trabalha com potências do complexo na forma trigonométrica :

Z = |z|.( Cosx + iSenx )
Z² = |z|² .(Cosx + iSenx)²

(Cosx + iSenx)² = Cosx² + 2.(iCosxSenx) - Senx²

Cosx² - Senx² = Cos(2x)
2CoxSenx = Sen(2x)                Reformulando,

Cos(2x) + iSen(2x)

Z² = |z|²( Cos(2x) + iSen(2x) )

Para Z³ é a mesma coisa. Infelizmente não estou conseguindo provar para 
z^n, mas afirmo que funciona.

A 1 fórmula de moivre fica assim :
Z^n = |z|^n (Cos(nx) + iSen(nx)

Na questão eu elevei a 5 potência para o Cos e Sen serem conhecidos.