Função periódica

(Vunesp) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, através da função f(x) = 200 + (x + 50) cos (x∏ /3 – 4∏ /3) , onde f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida na cidade no mês x, com 1 ≤ x ≤ 12, x inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x no qual a função cos (x∏ /3 – 4∏ /3), atinge seu máximo, determine o mês x para o qual a produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês.
(Obs: ∏ = número pi)



Gabarito: x=10, 260 toneladas.
Pessoal, eu achei um dos valores do máximo que seria o x=4, mas qual a razão do x=10 e como chego nele?

O valor máximo da função cosseno é 1, logo:

[latex]cos \left ( \frac{x\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} \right )=1[/latex]

[latex]cos \left ( \frac{x\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} \right )=cos(2k\pi) \text{, com} \ \ k \in \mathbb{Z}[/latex]


O que implica,

[latex]\frac{x\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} =2k\pi[/latex]

[latex]\frac{(x-4)\pi}{3}  =2k\pi[/latex]

[latex]x-4  =6k[/latex]

[latex]x=6k+4[/latex]


Como [latex]1 \leq x \leq 12[/latex], os únicos valores de [latex]k[/latex] que satisfazem são 0 e 1.

O que leva a [latex]x=4[/latex] e [latex]x=10[/latex].


Temos que:

* [latex] f(4)=200+(4+50).cos\left ( \frac{4\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} \right )=254[/latex]

* [latex] f(10)=200+(10+50).cos\left ( \frac{10\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} \right )=260[/latex]


Portanto, temos uma produção máxima de 260 toneladas quando x = 10.