Função Periódica

por shady17 Sáb 18 Mar 2017, 11:47

Seja f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}-[3]$ uma função com a propriedade que existe $\omega >0$ , tal que $f(x+\omega )=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$ , para todo $x\epsilon \mathbb{R}$ . Prove que f é periódica.

por **fantecele** Sáb 01 Abr 2017, 21:21

$f(x+W)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}\\\text{Fazendo x = x + W}\\f(x+W+W)=\frac{f(x+W)-5}{f(x+W)-3}\\f(x+2W)=\frac{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-5}{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-3}\\f(x+2W)=\frac{2f(x)-5}{f(x)-2}\\\text{De forma analoga iremos encontrar f(x + 3W):}\\$
$f(x+W+2W)=\frac{\frac{2f(x)-10}{f(x)-3}-5}{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-2}\\f(x+3W)=\frac{3f(x)-5}{f(x)-1}\\\text{Agora para f(x+4W):}\\f(x+W+3W)= \frac{\frac{3f(x)-15}{f(x)-3}-5}{\frac{f(x)-5}{f(x)-3}-3}\\f(x+4W)=f(x)$

Com isso tiramos que f(x) = f(x + 4W)
Qualquer dúvida é só perguntar.

por shady17 Dom 02 Abr 2017, 10:50

Obrigado mesmo, ajudou bastante.

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