Função Periódica

07. Em relação à periodicidade e à paridade da
função f: R→R definida por f(x) = senx + cosx,
pode-se afirmar corretamente que
A) f é periódica e par.
B) f é periódica e impar.
C) f é periódica, mas não é par nem ímpar.
D) f não é periódica, não é par nem impar.

• senx = sen(x+2π)  e cosx = cos(x+2π), logo:

f(x)=f(x+2π) ⇒ f é periódica (período 2π). 

• Definições: 

- f(x) é par ⇔ f(-x) = f(x)
- f(x) é impar ⇔ f(-x)=-f(x)
- sen(-x) = -senx (senx é impar)
- cos(-x) = cosx (cosx é par)

• Aplicando a ideia na questão:

f(-x) = sen(-x) + cos(-x) = cosx - senx
Como não satisfaz a nenhuma das restrições, f(x) não é par nem ímpar.

Resposta: LETRA C

Eu não entendo essa parte f(-x) = sen(-x) + cos(-x) = cosx - senx , pq o senx fica negativo ?

Juvenille escreveu:Eu não entendo essa parte f(-x) = sen(-x) + cos(-x) = cosx - senx , pq o senx fica negativo ?

Deixa eu tentar explicar...
O ciclo é dividido em quadrantes.
No 1º e 4º quadrantes o cosseno é positivo.
No 1º e 2º quadrantes o seno é positivo.
Quando você mede um ângulo no ciclo trigonométrico isso é feito no sentido anti-horário(+), ou seja, analisando o seno, tem-se a seguinte sequência de sinais em relação aos quadrantes: +, +, -, -
Quando você mede no sentido horário o ângulo é feito com medida negativa. Por exemplo: quando eu tenho o ângulo de -30º significa o mesmo que o ângulo de 330º, pois você está indo no sentido oposto do convencional(360 - 30).
Repare então que o ângulo de 30º, primeiro quadrante, tem como "espelho" no quarto quadrante o ângulo de 330º
No primeiro quadrante, o seno é positivo e no quarto quadrante é negativo.
Então, sendo x um ângulo qualquer, quando você calcula -x, automaticamente você está invertendo a ordem dos sinais do seno, ou seja, sen(x) = -sen(-x).
 
Espero ter ajudado!