Geometria Espacial

2. A seguir estãoo listadas duas afirmações verdadeiras e fundamentais para a Geometria Espacial.

I) “Se uma reta r, (não contida no plano α)  A , for paralela a uma reta do plano α, então r é paralela a α.”


II) “Se uma reta s é perpendicular a um (par de retas) B (concorrentes)  C do plano β, então s é perpendicular a β.”

Em cada um dos itens a seguir, apresente exemplos por meio de figuras e palavras para ilustrar cada uma das situações descritas.

a) A afirmação I) não é verdadeira se a condição A não é satisfeira.
b) A afirmação II) não é verdadeira se a condição C não é satisfeira.
c) A afirmação II) não é verdadeira se as condições B e C forem substituídas por “a reta”.

OBS: Não possuo o Gabarito da questão.

a)
se a condição A não é satisfeita então a reta r pertence ao plano alfa e, portanto, não pode ser paralela ao plano ao qual pertence.

b)
se as duas retas do plano beta não são concorrentes então elas são paralelas. Deste modo a reta s pode ser perpendicular à ambas e paralela ao plano beta; ou pode, ainda, ser secante ao plano; e pode até pertencer ao plano.

obs: como no postulado II não é mencionado que a reta s é perpendicular ao par do plano beta no ponto de concorrência, estou admitindo que ele considera válido também as retas ortogonais (reversas).

c)
fazendo a substituição o postulado II fica: "se uma reta s é perpendicular a uma reta do plano beta ....".
Seja t a reta do plano beta. Vamos entender que aqui "perpendicular" significa que há um ponto de concorrência e que nesse ponto forma-se um ângulo reto entre s e t. Por um ponto passam infinitas retas; assim é infinito o número de retas perpendiculares a t e desta forma s pode ser:
. secante ao plano (mais provável);
. pertencente ao plano. Se admitirmos ortogonalidade (s ortogonal a t), s pode até ser paralela ao plano beta;
. perpendicular ao plano -- sim, pode até acontecer isto, a probabilidade é baixíssima.
Portanto, nestas condições, a afirmação II não é sempre verdadeira, logo é falsa.

Para facilitar a visão, podemos imaginar a reta t do plano beta como o eixo de uma carroça (onde o plano beta é definido pelos dois eixos) e as possíveis retas s como os raios da sua roda.

Se considerarmos s ortogonal a t, a situação é a mesma descrita acima. É só deslocar a roda do eixo, o resto é tudo igual.