(UNESP-2006) - forma trigonométrica
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(UNESP-2006) - forma trigonométrica
por Paulo Testoni Qua 16 Set 2009, 14:59
Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente dominante igual a 1.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente dominante igual a 1.
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: (UNESP-2006) - forma trigonométrica
por Elcioschin Ter 22 Set 2009, 22:55
z = 1 + i ----> |z| = V2
z = V2*(V2/2 + i*V2/2) ----> z = V2*(cos45 + i*sen45)
z³ = [V2*(cos45 + i*sen45)]³ ----> z³ = 2*V2*[cos(3*45) + i*sen(3*45)]
z³ = 2*V2*(cos135º + i*sen135º)
|Z|² = (V2)² = 2 ----> 2 é uma raiz
z = 1 + i é raiz ----> z' = 1 - i também é raiz (raízes conjugadas)
[x -(1 + i)]*[x - (1 - i)] = x² - 2x + 2
P(x) = (x² - 2x + 2)*(x - 2) ----> P(x) = x³ - 4x² + 6x - 4
z = V2*(V2/2 + i*V2/2) ----> z = V2*(cos45 + i*sen45)
z³ = [V2*(cos45 + i*sen45)]³ ----> z³ = 2*V2*[cos(3*45) + i*sen(3*45)]
z³ = 2*V2*(cos135º + i*sen135º)
|Z|² = (V2)² = 2 ----> 2 é uma raiz
z = 1 + i é raiz ----> z' = 1 - i também é raiz (raízes conjugadas)
[x -(1 + i)]*[x - (1 - i)] = x² - 2x + 2
P(x) = (x² - 2x + 2)*(x - 2) ----> P(x) = x³ - 4x² + 6x - 4
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