Unesp trigonometria 2006

por projetomed2024@gmail.com Sex 22 Mar 2024, 15:01

Considere os gráficos das funções y = sen(x) e y = sen(2x) em um mesmo plano cartesiano. O número de interseções desses gráficos, para x no intervalo [0, 2π], é (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7.
gabarito

Spoiler:

ONDE ERRO?Agradeço vcs desde já Smile

Galera,a dúvida existe,pois eu achei 7 raizes onde os dois gráficos se intersectam,vide:
2∏,0∏ e ∏ para sinx²=0 e para sinx²=3/4 achei ∏/3,2∏/3,4∏/3 e 5∏/3
I-Igualei as 2 funções e ficou sinx=2sinxcosx=>Usei a fundamental da trigonometria e ficou uma equação de 4 grau e substitui sinx² por uma letra e cai na seguinte eq de segundo grau(Usando T como sin²x)

3T-4T²=0,e caí nas 2 eq decima,e nas consequentes 7 raizes achadas

por **Giovana Martins** Sex 22 Mar 2024, 15:49

Vou resolver da forma como você fez, mas primeiro vou propor um jeito mais simples.

[latex]\\\mathrm{sin(2x)=sin(x)\to 2sin(x)cos(x)-sin(x)=0}\\\\ \mathrm{sin(x)[2cos(x)-1]=0\ \therefore\ sin(x)=0\ (i)\ \vee\ cos(x)=\frac{1}{2}\ (ii)}\\\\ \mathrm{De\ (i):S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}\ e\ de\ (ii):S_2=\left \{ \frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3} \right \}}\\\\ \mathrm{Assim:S=S_1\cup S_2\to S=\left \{ 0,\frac{\pi }{3},\pi, \frac{5\pi }{3},2\pi \right \}}[/latex]

Agora, do seu jeito:

[latex]\\\mathrm{sin(2x)=sin(x)\to 4sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(x)=0}\\\\ \mathrm{4sin^2(x)[1-sin^2(x)]-sin^2(x)=0\ \therefore\ 4t(1-t)-t=0\ \therefore\ t=\left \{ 0,\frac{3}{4} \right \}}\\\\ \mathrm{sin^2(x)=0\ \therefore\ S_1=\left \{ 0,\pi,2\pi \right \}}\\\\ \mathrm{sin(x)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ \therefore\ sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ \therefore\ S_2=\left \{ \frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3} \right \}\ e\ sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \therefore\ S_3=\left \{ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi }{3} \right \}}\\\\ \mathrm{Testando\ os\ valores:}\\\\ \mathrm{Para\ x=\frac{4\pi }{3}\to sin\left ( \frac{8\pi}{3} \right )=sin\left ( \frac{4\pi }{3} \right )\to \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to Falso}\\\\ \mathrm{Para\ x=\frac{2\pi }{3}\to sin\left ( \frac{4\pi}{3} \right )=sin\left ( \frac{2\pi }{3} \right )\to -\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to Falso}[/latex]

Você não mostrou seus cálculos, mas acredito que o seu único erro foi não ter testado as soluções. Isso acontece pelo seguinte: sempre que você eleva ambos os lados da equação a alguma número você corre o risco de introduzir raízes falsas no problema, afinal, você transformou a equação original em uma outra equação ao utilizar o artifício de elevar ambos os lados da equação ao quadrado.

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