tangente

Bom dia!!  poderiam me ajudar nessa questão

Uma circunferência tem equação x^2 + y^2 - 4x -6y +9 = 0
determine as retas que tangenciam a circunferência e são perpendiculares à reta 3x + 4y -28=0

a resposta é 4x - 3y + 11 = 0

Olá ike!
Retas que são perpendiculares à reta 3x + 4y -28 = 0, cujo coeficiente angular é -3/4, possuem o seguinte coeficiente angular:

m . (-3/4) = -1 → m = 4/3

Portanto a equação das retas terão o seguinte formato:

y = (4/3) . x + q → 4x - 3y + 3q = 0

Agora vamos analisar a circunferência:

x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0 → (x - 2)² + (y - 3)² = 4

→ circunferência de centro (2,3) e raio 2

Agora vamos usar que como as retas tangenciam a circunferência, a distância do centro à reta é igual ao raio. Utilizando a fórmula de distância de ponto à reta:

d = |axo + byo + c|/√(a² + b²)

2 = |4.2 - 3.3 + 3q|/√(4² + (-3)²)

|3q - 1| = 10 → 3q = 11 ou 3q = - 9

Portanto, as retas são:

4x - 3y + 11 = 0 e 4x - 3y - 9 = 0

Victor, como funciona a resolução de questões como essa de tangência por meio de derivadas? É melhor ou acha que da forma convencional é mais rápido? 

Olá Eduardo!
Acredito que utilizar derivadas dá mais conta. Isso porque inevitavelmente teríamos que calcular os pontos de tangência da reta. Veja como seria:

Coeficiente angular das retas tangentes: m = 4/3

Isolando o y na equação da circunferência:

x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0 → (y - 3)² = 4x - x² 

y = 3 + √(4x - x²) ou y = 3 - √(4x - x²)

Derivando as duas equações encontraremos:

dy/dx = (2-x)/√(4x - x²) ou dy/dx = (x-2)/√(4x - x²)

Como nos dois casos dy/dx é o coeficiente das retas tangentes  à circunferência (4/3), conseguimos encontrar as coordenadas x e y dos pontos de tangência:

(x,y) = (18/5, 9/5) e (x,y) = (2/5, 21/5)

Agora, tendo o coeficiente angular das retas (4/3) bem como os pontos em que cada uma tangencia a circunferência, podemos encontrar as suas equações:

(y-yo) = m.(x-xo) → (y-9/5) = (4/3).(x-18/5) e (y-21/5) = (4/3).(x-2/5)

→ 4x - 3y + 11 = 0 e 4x - 3y - 9 = 0

Outra solução, sem derivadas:

Reta ---> y = (4/3).x + q

x² + y² - 4.x - 6.y + 9 = 0 ---> x² + [(4/3).x + q]² - 4.x - 6.[(4/3).x + q] + 9 = 0

Desenvolvendo chega-se numa equação do 2º grau ax² + b.x + c = 0, com duas possíveis soluções.
Para as duas retas serem tangentes o discriminante ∆ deverá ser nulo:

∆ = 0 ---> b² - 4.a.c = 0 ---> Calcule os dois valores de q

É verdade, e ainda acaba sendo mais passível de erro fazendo assim, já que separaria a questão em 4 ou até 5 passos, na forma comum são apenas 2 ou 3. Muito obrigado pela resolução.