Transformação Linear

Determine se as funções abaixo são transformações lineares. Justifique:

a)[latex]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2[/latex], onde [latex]T(x,y,z)=(2x-y, y-4z).[/latex]
b)[latex]T: M_{2X2}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] onde [latex]T\left ( \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \right ) = 3a-4b+c-d.[/latex]
c)[latex]T:P_{2\rightarrow} P_{2}[/latex], onde [latex]T(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=a_{0}+1+a_{1}(x+1)+a_{2}(x+1)^2[/latex]

Olá Mat209880980823! 

Para que a função seja uma transformação linear, ela deve satisfazer as seguintes relações:

[latex]\\\bullet\;T(u+v)=T(u)+T(v)\\ \\\bullet\;T(\alpha .u)=\alpha.T(u)[/latex]

Vamos agora analisar cada um dos itens:

a)  u = (x₁ , y₁ , z₁) e v = (x₂ , y₂ , z₂):

[latex]\\\bullet\;\left\{\begin{matrix}T(u+v)=(2.(x_1+x_2)-(y_1+y_2),(y_1+y_2)-4(z_1+z_2))\\ T(u)+T(v)=(2x_1-y_1,y_1-4z_1)+(2x_2-y_2,y_2-4z_2)\end{matrix}\right. \\\\\rightarrow\;T(u+v)=T(u)+T(v)[/latex]

[latex]\\\bullet\;T(\alpha .u)=T(\alpha.x_1,\alpha.y_1,\alpha.z_1)=(2\alpha.x_1-\alpha.y_1,\alpha.y_1-4\alpha.z_1)\\\\=\alpha.(2x_1-y_1,y_1-4z_1)\\\\ \rightarrow\;T(\alpha .u)=\alpha .T(u)[/latex]

Logo, como as duas relações são válidas, a transformação é linear!

b) u = [latex]\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\ c_1&d_1 \end{bmatrix}[/latex] e v = [latex]\begin{bmatrix}a_2 & b_2\\ c_2&d_2 \end{bmatrix}[/latex]:

[latex]\\\bullet\;\left\{\begin{matrix}T(u+v)=3(a_1+a_2)-4(b_1+b_2)+(c_1+c_2)-(d_1+d_2)\\ T(u)+T(v)=(3a_1-4b_1+c_1-d_1)+(3a_2-4b_2+c_2-d_2)\end{matrix}\right. \\\\\rightarrow\;T(u+v)=T(u)+T(v)[/latex]

[latex]\\\bullet\;T(\alpha .u)=T \left (\begin{bmatrix}\alpha.a_1 & \alpha.b_1\\ \alpha.c_1&\alpha.d_1 \end{bmatrix} \right )=3\alpha.a_1-4\alpha.b_1+\alpha.c_1-\alpha.d_1\\\\=\alpha.(3a_1-4b_1+c_1-d_1)\\\\ \rightarrow\;T(\alpha .u)=\alpha .T(u)[/latex]

Logo, como as duas relações são válidas, a transformação é linear!

c) u = [latex]a_0+a_1x+a_2x^2[/latex] e v = [latex]b_0+b_1x+b_2x^2[/latex]:

[latex]\\\bullet\;\left\{\begin{matrix}T(u+v)=(a_0+b_0)+1+(a_1+b_1)(x+1)+(a_2+b_2)(x+2)^2\\ T(u)+T(v)=\left [ a_0+1+a_1(x+1)+a_2(x+2)^2 \right ]+\left [ b_0+1+b_1(x+1)+b_2(x+2)^2 \right ]\end{matrix}\right. \\\\\rightarrow\;T(u+v)=T(u)+T(v)[/latex]

[latex]\\\bullet\;T(\alpha .u)=T \left (\alpha.a_0+\alpha.a_1x+\alpha.a_2x^2\right )\\\\=\alpha.a_0+1+\alpha.a_1(x+1)+\alpha.a_2(x+2)^2 \neq \alpha.(a_0+1+a_1(x+1)+a_2(x+2)^2 )\\\\ \rightarrow\;T(\alpha .u)\neq \alpha .T(u)[/latex]

Logo, como a segunda relação não é válida, a transformação não é linear!