Base do subespaço
2 participantes
Página 1 de 1
Base do subespaço
por Sea&Anna Qua 14 Out 2020, 12:26
A =
0 1 3 0
1 0 3 0
3 3 8 0
0 0 0 2
Determine uma base para o subespaço definido pelo conjunto solução do sistema linear (A+I4)X=0.
A. {(−3,0,1,0),(−1,1,0,0)}
B. {(−3,0,1,0),(−3,1,0,0)}
C. {(−1,0,1,0),(−1,1,0,0)}
D. {(−1,0,1,0),(−3,1,0,0)}
0 1 3 0
1 0 3 0
3 3 8 0
0 0 0 2
Determine uma base para o subespaço definido pelo conjunto solução do sistema linear (A+I4)X=0.
A. {(−3,0,1,0),(−1,1,0,0)}
B. {(−3,0,1,0),(−3,1,0,0)}
C. {(−1,0,1,0),(−1,1,0,0)}
D. {(−1,0,1,0),(−3,1,0,0)}
Sea&Anna- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 09/02/2020
Re: Base do subespaço
por Com Licenca Qua 14 Out 2020, 20:13
Antes de tudo, montando o sistema linear, sendo I4 a matriz identidade de ordem 4.
[latex](A + I_{4})X = \Theta\\ \\ = \left ( \begin{pmatrix} 0&1 &3 &0 \\ 1&0 &3 &0 \\ 3&3 &8 &0 \\ 0& 0& 0&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1& 0& 0 &0 \\ 0&1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &0 & 1 \end{pmatrix} \right )X = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 &0 \\ 1 & 1 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 9 & 0\\ 0 &0 & 0 & 3 \end{pmatrix} X = \theta\\ \\ \text{Agora note que a primeira linha \'e multipla da segunda e da terceira.}\\ \text{Fazendo $L_{2} - L_{1}$ e $L_{3} - 3L_{1}$ ficamos com:}\\ \\ \begin{pmatrix} 1& 1 & 3 &0 \\ 0& 0& 0&3 \\ 0& 0& 0& 0\\ 0 &0 &0 & 0 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \\ \text{Eu troquei as linhas de posicao pra facilitar a visualizacao, para fazer isso}\\ \text{\'e necess\'ario trocar as linhas da matriz $\theta$ tamb\'em, para manter a}\\ \text{igualdade, mas como sao todas zeros, nada muda.}\\ \\ \text{Sendo entao a matriz X} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{pmatrix} \\ \\ \text{Fazendo a multiplicacao, teremos:}\\ [/latex]
[latex]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 0\\ 3w = 0 \end{matrix}\right.\\ \\ \Rightarrow w = 0\\ \Rightarrow x = -y -3z\\ \\ \text{O vetor solucao, X, fica.} \\ \\ \begin{pmatrix} -y-3z\\ y\\ z\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y\\ y\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3z\\ 0\\ z\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} y + \begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} z \\ \\ \text{A solucao do sistema linear, X, pode ser escrito como a soma de}\\ \text{2 vetores, e como sao linearmente independentes eles formam uma base}\\ \text{Chamando de base $\pi$}\\ \\ \pi = \{ (-3,0,1,0),(-1,1,0,0)\} \\ \\ \text{Resposta letra A} [/latex]
[latex](A + I_{4})X = \Theta\\ \\ = \left ( \begin{pmatrix} 0&1 &3 &0 \\ 1&0 &3 &0 \\ 3&3 &8 &0 \\ 0& 0& 0&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1& 0& 0 &0 \\ 0&1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &0 & 1 \end{pmatrix} \right )X = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 &0 \\ 1 & 1 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 9 & 0\\ 0 &0 & 0 & 3 \end{pmatrix} X = \theta\\ \\ \text{Agora note que a primeira linha \'e multipla da segunda e da terceira.}\\ \text{Fazendo $L_{2} - L_{1}$ e $L_{3} - 3L_{1}$ ficamos com:}\\ \\ \begin{pmatrix} 1& 1 & 3 &0 \\ 0& 0& 0&3 \\ 0& 0& 0& 0\\ 0 &0 &0 & 0 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \\ \text{Eu troquei as linhas de posicao pra facilitar a visualizacao, para fazer isso}\\ \text{\'e necess\'ario trocar as linhas da matriz $\theta$ tamb\'em, para manter a}\\ \text{igualdade, mas como sao todas zeros, nada muda.}\\ \\ \text{Sendo entao a matriz X} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{pmatrix} \\ \\ \text{Fazendo a multiplicacao, teremos:}\\ [/latex]
[latex]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 0\\ 3w = 0 \end{matrix}\right.\\ \\ \Rightarrow w = 0\\ \Rightarrow x = -y -3z\\ \\ \text{O vetor solucao, X, fica.} \\ \\ \begin{pmatrix} -y-3z\\ y\\ z\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y\\ y\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3z\\ 0\\ z\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} y + \begin{pmatrix} -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} z \\ \\ \text{A solucao do sistema linear, X, pode ser escrito como a soma de}\\ \text{2 vetores, e como sao linearmente independentes eles formam uma base}\\ \text{Chamando de base $\pi$}\\ \\ \pi = \{ (-3,0,1,0),(-1,1,0,0)\} \\ \\ \text{Resposta letra A} [/latex]
Com Licenca- Iniciante
- Mensagens : 7
Data de inscrição : 04/10/2020
Tópicos semelhantes» Base do subespaço
» Base - Subespaço
» Base e dimensão de um subespaço
» Exiba uma base do subespaço S
» Base ortonormal e base ortogonal
» Base - Subespaço
» Base e dimensão de um subespaço
» Exiba uma base do subespaço S
» Base ortonormal e base ortogonal
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
