Geometria Espacial

por Mary Luna Ana Qua 09 Set 2020, 20:50

Se os diâmetros das bases de dois cones estão na razão de 1:3 É suas alturas estão na razão de 3:1, então os seus volumes estão na razão de:

Gabarito: 1:3

por **Christian M. Martins** Qua 09 Set 2020, 21:16

Tentarei descrever o máximo possível para auxiliá-la no entendimento da resolução.

Repare que se os diâmetros estão na razão de 1:3, então os raios também estão nessa mesma razão.

Chamemos o cone de menor base de x, seu raio de rx e sua altura de hx.
Façamos o mesmo com o cone de maior base, chamando-o de y, seu raio de ry e sua altura de hy.

Disso e do enunciado, sabemos que:

rx = ry/3 (I)

hx = 3hy (II)

Relativo ao cone x, se tem que seu volume é dado por:

[latex]V_{x} = \frac{\pi r_{x}^{2}h_{x}}{3}[/latex]

Relativo ao cone y, por sua vez:

[latex]V_{y} = \frac{\pi r_{y}^{2}h_{y}}{3}[/latex]

Para que possamos saber a relação Vx/Vy entre os volumes dos cones x e y, precisamos utilizar, nas frações correspondentes a seus volumes, apenas incógnitas iguais, para que dessa forma possamos cancelar elas. Sabendo disso, substituamos, no volume do cone x, os valores obtidos em (I) e (II):

[latex]V_{x} = \frac{\pi (\frac{r_{y}}{3})^{2} \ .\ 3h_{y}}{3} = \frac{ \pi r_{y}^{2}h_{y}}{9} [/latex]

Finalmente, relacionando ambos os volumes, se obtém:

[latex]\frac{V_{x}}{V_{y}} = \frac{\frac{ \pi r_{y}^{2}h_{y}}{9}}{\frac{\pi r_{y}^{2}h_{y}}{3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}[/latex]