numeros de raizes de um polinomio

por powermetal Seg 27 Jul 2020, 21:16

Um polinômio do 6.º grau P(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômios A(x) = x³ + 1 e B(x) = x² + 1. Assim, o número de raízes reais do polinômio P(x) é igual a

(A) 0.
(B) 1.

(C) 2.

(D) 4.

(E) 6

Se um polinomio é grau 6 então ele n teria que ter 6 raizes?? Assim como grau 3 tem 3 , grau 2 tem 2 e grau 1 tem 1 ??

por jessesantos2001 Seg 27 Jul 2020, 21:39

correto,mas também não podemos esquecer que o conjugado dos números complexos também é raiz. Além disso, a questão restringiu as raízes apenas no conjunto dos reais.

por powermetal Seg 27 Jul 2020, 21:44

jessesantos2001 escreveu:correto,mas também não podemos esquecer que o conjugado dos números complexos também é raiz. Além disso, a questão restringiu as raízes apenas no conjunto dos reais.

Vc consegue fazer a resolução??

por **Kayo Emanuel Salvino** Seg 27 Jul 2020, 21:50

Veja que: " Assim, o número de raízes reais do polinômio P(x) é igual a: "

As raízes podem ser complexas.

Lembre-se do teorema da raiz complexa conjugada: https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_raiz_complexa_conjugada.

Se é divisível por x³ + 1 ( raiz real = - 1 ) e x² + 1 ( raiz complexa = -+ i ) --> é divisível por x^5 + x³ + x² + 1, assim o resto será zero e o quociente da forma ax + b --> x = -b/a --> raiz real.

por **Elcioschin** Seg 27 Jul 2020, 21:56

P(x) é divisível por x³ + 1 = (x + 1).(x² - x + 1)

x = - 1 é uma raiz real
x² - x + 1 ---> 2 raízes complexas: x = (-1 ± i.√3)/2

P(x) é divisível por x² + 1 ---> 2 raízes complexas: x = i e x = -i

São 4 raízes complexas (pois elas acontecem aos pares) e 2 raízes reais.

por Emersonsouza Seg 27 Jul 2020, 22:13

Considere P(x) o polinômio do sexto grau.

Aplicando o teorema de D'alembert temos :
Se P(x) é divisível por X^3 + 1 ,entao, as raízes de x^3-1 sao raizes de P(x)
X^3+1=0--> soma de cubos.
(X+1)*(x^2 - x +1)=0 --> forma fatorada do X^3+1.
X+1=0
Ou
X^2 - x +1=0

X+1=0--> X=-1--> raiz

X^2 - x +1=0
Basckara--> 1-4= ∆--> ∆=-3
Como o delta é negativo ,conclui-se que as raizes sao conplexas.
X=(1 +- V-3 )/2--> x=( 1+iV3)/2ou x=( 1-iV3)/2
Aplicando o mesmo para x^2 + 1
X^2+1=0--> x^2=-1-> x= +- i

Até o momento as raízes de P(x) sao :
i,-i ,(1+iV3)/2,(1-iV3)/2 ,-1
Relaçoes de Girard.
Os coeficientes sao reais,logo,o termo independente ,com a soma das raizes,deve dar um número real .

i+-i +(1-iV3)/2+(1+iV3)/2 + - 1 + x6 = real -->x6 = real.
Portanto, as raízes reais sao -1 e x6.