Polinômio cúbico sem termo quadrático

Boa tarde! Na questão 29 da prova da UFSC 2015 um dos enunciados é:

-Os valores reais de p para que a equação x³-3x+p=0 admita uma raiz dupla são -2 e 2.

A única resolução que achei na internet é a seguinte:

-Toda raiz dupla de x³-3x+p=0 também é raiz da equação 3x²-3=0. Portanto, como as raízes dessa equação são -1 e 1, segue-se que p = -2 ou p = 2.

Eu gostaria de entender o porquê de toda raiz dupla da equação também ser raiz de 3x²-3 (de onde surgiu??) já que não se tem uma forma de fatorar a equação usando a multiplicidade da raiz.  
Obrigada desde já.

x³ + 0.x² - 3.x + p = 0

Sejam r, r, s as raízes. Usando Relações de Girard:

r + r + s = 0  ---> s = - 2.r ---> I

r² + rs + r.s = - 3 ---> r² + 2.r.(-2.r) = - 3 ---> r² = 1 ---> r = ± 1

r.r.s = -p ---> r².(-2.r) = - p ---> p = 2.r³ ---> p = ± 2

Obrigada pela resposta, me ajudou a elucidar um pouco a questão! Porém ainda não compreendi o uso do 3x²-3=0 nas outras correções que achei.

Infelizmente, esta explicação não foi dada por quem resolveu na internet.

elechtra escreveu:Obrigada pela resposta, me ajudou a elucidar um pouco a questão! Porém ainda não compreendi o uso do 3x²-3=0 nas outras correções que achei.

essa eq. 3x² - 3 = 0  nada mais é do que a primeira derivada -- f'(x) -- da eq original.

a eq dada é do 3° grau e portanto têm três raízes. Mas o problema quer que haja uma raiz dupla. Então ela deve ser, por exemplo, como mostrado no gráfico abaixo em vermelho (p=+2) ou em verde (p=-2). Em azul está a primeira derivada da função f(x) = x³ - 3x + p. Note que esta derivada é zero quando a f(x) é máxima ou mínima (local); e como a raiz dupla forçosamente cairá num desses pontos, então as raízes de f'(x) coincidirão com uma raiz dupla de f(x).



facilita mas neste caso não é fundamental usar derivadas, o Élcio resolveu acima usando apenas Relações de Girard.

aproveitando que falamos da derivada, vamos completar com algumas características úteis.

se a função tem um máximo ou mínimo local, sua derivada é zero nesse ponto.
quando a função é crescente, sua derivada é positiva.
quando a função é decrescente, sua derivada é negativa.
se a função tem um ponto de inflexão, sua derivada tem máximo ou mínimo nesse ponto.