polinômio quadrático - verificar se fiz correto.

UFPE

A figura a seguir ilustra parte do gráfico de um polinômio quadrático p(x) = ax² +  bx + c com coeficientes a, b e c reais.



Analise a veracidade das afirmações seguintes:

( ) p(x) admite duas raízes reais
( ) b > 0
( ) p(x) define uma função decrescente para todo real x
( ) p(x) < 30 para todo real x
( ) c > 0

R: V,F,F,F,V

Pessoal, eu fiz assim: olhando o gráfico, chamei Q(-2;15) e P(1;-5). Substituí em p(x) e resolvi um sistema, encontrando, caso eu não tenha errado contas, a = 5/6 , b = -35/6 e c = 0
Assim: p(x) = (5/6)x² - (35/6)x

1ª alternativa verdadeira, pois a > 0 e, fazendo p(x) = 0, encontramos o delta > 0. Logo, 2 raízes reais e distintas.
2ª alternativa falsa, pois b < 0
3ª alternativa falsa, pois, pra a < 0 a função é crescente
4ª alternativa falsa, só substituir valores de a menores que -3 e encontraremos infinitos p(x) > 30
5ª alternativa, PRA MIM, é falsa, pois c = 0.

Fiz certo ? No caso, a última alternativa é erro de gabarito ?


obrigado.

Os valores que você supôs, olhando, não estão certos: por exemplo para x = - 2, y ~= 15
Assim, você não pode supor valores.

O que sabemos, com certeza é:

1) Uma das raízes é x = 0, pois esta parte do gráfico passa pela origem.
2) A curva é uma parábola com a concavidade voltada para cima (a > 0)
3) Para x = 0, y = 0 ---> 0 = a.0² + b.0 + c ---> c = 0
4) O vértice da parábola está no 4º quadrante: xV > 0
5) xV = - b/2.a ---> b < 0
6) yV < 0

Élcio

acho que houveram algumas distrações em:
2) parábola com concavidade para cima ---> a > 0
5) xV = -b/(2a) , xV > 0 , a > 0 -----> -b > 0 -----> b < 0

Johnny

não sei como esse gráfico aparentava nessa folha fotografada mas ampliando a sua foto conseguimos notar:

e pela escala usada na vertical podemos estimar que C está entre 0,5 e 1, mais perto do 1.

Certamente eu me distrai (também eu tinha acabado de chegar de Brasília!!!)

Não fale "Brasília", amigo, isso tem conotação ruim, é melhor dizer Ceilândia. (ki ki ki)

Mestres Élcio e Medeiros, muito obrigado pelas ajudas.

Mestre Élcio: de fato, quando temos x = -2, o y será aproximadamente igual a 15. Sendo assim, não poderíamos utilizar o y = 15 afim de cálculos, já que y = 15,(dízima periódica ou não-periódica) dará um resultado muito próximo ? A Fuvest, na parte de física, é mestra em botar gráficos o qual consideramos nº inteiro para números racionais ou irracionais.
No mais, poderia dizer que minha resolução está correta, não ?


Medeiros, realmente, aqui no meu material a parábola realmente não intersecta a origem, achando, assim, c > 0.  Se assim for (caso não tenha havido erro de impressão da banca), minha resolução estaria realmente errada.

Acho que foram os "ares" da cidade!
Mas eu não tive opção: fui visitar 2 irmãos que moram lá.

Mestres, eu deixei minha resolução como está pois, pelo o que vi, eu resolvi "correto" pra valores aproximados. O ponto Q(-2;15) está correto de acordo aqui com o gráfico, mas o ponto P(1;-5) que estaria errado, pois x seria aproximadamente 1,3 ~1,4. Assim, considerei x = 1 pra fins de cálculo. Na hora de acharmos os c, fiz como o Medeiros disse, analisando apenas o gráfico veremos que c = 1 aproximadamente. Daí, fica fácil analisarmos a questão pois há valores que provam as alternativas sendo falsas ou verdadeiras.

Muito obrigado a ambos pelas ajudas!!!

Johnny

você não pode considerar c=1 olhando para esse gráfico. Fiz aquele comentário somente para ressaltar que o c (o coeficiente, não ocê) estava significativamente longe do zero. E mais, fiz essa estimativa no puro olhômetro, sem qualquer padrão técnico ou matemático.