Geometria Plana triangulos

Dado um triângulo qualquer ABC e uma reta “r” exterior ao mesmo e sabendo que as
distâncias de seus vértices à essa reta são 4cm, 8cm e 3cm, calcular a distância do
baricentro à mesma reta.

GAB: 5

suponha que essas distâncias dadas sejam as ordenadas (eixo y) dos vértices do triângulo.

ora, o yG é a média aritmética das ordenadas; portanto a distância pedida é:

yG = d = (4 + 8 + 3)/3 = 5

Uma figura para ajudar:

como você conseguiu chegar a conclusão que é a média aritmética? É alguma teoria?

Seja o triângulo ABC de baricentro G, e as distâncias dos vértices A, B e C até a reta r são a, b e c respectivamente. Seja d a distância procurada.

I) M é o ponto médio de AC.

II) MR é base média do trapézio ACHN:
MR = (a + c)/2

III) Vamos destacar agora o trapézio BMRF. BM é mediana de ABC e G é o baricentro, logo BG = 2.GM. Isso nos permite traçar a ST // MR pelo ponto médio de BG.
ST é base média do trapézio BGJF:
ST = (b + d)/2

IV) d é base média do trapézio SMRT:
d = (ST + MR)/2
2.d = ST + MR
2.d = (a + c + b + d)/2
4.d = a + b + c + d
3.d = a + b + c
d = (a + b + c)/3

Portanto d é a média aritmética da soma das distâncias dos vértices até a reta r:
d = (3 + 4 + /3
d = 15/3
d = 5

Lima015 escreveu:como você conseguiu chegar a conclusão que é a média aritmética? É alguma teoria?

Não. É calculo; mas é tão intuitivo que nem mostrei.

Lembro que já respondi esta questão no fórum -- devem fazer uns dez anos -- mas agora não encontrei. Segue nova resposta, apesar de que a Rory já elucidou muito bem.

Como tudo o que nos interessa é a distância em relação a reta r, podemos trabalhar apenas com uma dimensão e para nos facilitar a visualização imaginamos um eixo y perpendicular à reta dada.



OBS: nesta resolução há um detalhe ao fundo que não foi explicitado, na passagem da segunda para a terceira linha.
A propriedade do baricentro usada refere-se e vale para o segmento CM que, contudo não é perpendicular à reta R. Na verdade o que fizemos aqui foi aplicar o teor. de Tales e, assim, transferir essa proporção (2 : 1) a uma reta (não desenhada) perpendicular à r.