Posição de uma reta em relação a uma circunferência

por AlissonGomesipichana Qua 23 Out 2019, 10:17

P112. Determine as equações das retas tangentes a circunferência ( x - 2 ) ^2 + ( y-4) ^2 = 4 , que passam pelo ponto P ( 5,2).

Resposta : y=2 ou 2x + 5y -70 = 0

por lookez Qua 23 Out 2019, 10:37

Retas que passam por P: y-2=m(x-5) --> y = m(x-5) + 2

Como queremos as tangentes à circunferência, substitua y na equação da mesma e reorganize a equação de modo que fique uma equação do segundo grau em x, com coeficientes contendo o m da reta. Depois basta fazer ∆ = 0 e você vai chegar a uma equação do segundo grau em m, as 2 soluções de m vão te dar as duas equações de reta desejadas.

A substituição ficaria: (x-2)² + (m(x-5)-2)² = 4

Se não conseguir fazer postarei os cálculos mais tarde.

por lookez Qua 23 Out 2019, 22:13

(x-2)^2+(m(x-5)-2)^2=4

x^2-4x+4+m^2(x-5)^2-4m(x-5)+4=4

x^2-4x+4+m^2x^2-10m^2x+25m^2-4mx+20m=0

(1+m^2)x^2-(10m^2+4m+4)x+(25m^2+20m+4)=0

Condição de tangência, \Delta=0:

(2m(5m+2)+4)^2-4(1+m^2)(25m^2+20m+4)=0

5m^2+12m=0

\therefore m=0 \text{ ou }m=-\frac{12}{5}

Retas tangentes:

m=0\rightarrow \boxed{y=2}

m=-\frac{12}{5}\rightarrow \boxed{12x+5y-70=0}

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