Função Euler

Proposição 3: Se φ(m) = 2^r, para algum r ∈ N, então a decomposição em fatores primos de m e dada por

m=±2^s(2^(2^n1) +1)···(22nk +1),

com s ∈Z+ e n1,...,nk ∈ N tais que os
(2^(2^ni) +1) com i = 1,...,k são primos distintos.

Como posso aplicar essa proposição para o exercício: (a) φ(m) = 2^2; (b) φ(m) = 2^3;

Muito confuso o seu enunciado, seria melhor colocar a foto. No geral, fiz isso:

Aplicar para descobrir o valor de "m"? Se for o caso, a função de euler tem como ser feita de duas formas

 φ(m=x^a) = x^(a-1)*(x-1)
Ou

Caso se soubermos a decomposição do número, por exemplo, 8 = 2^3, sendo x = 8 e x1 uma das suas decomposições

Então seria  φ(m) = x*(1-1/x1) =  8*(1-1/2) = 4

Perceba que também tenho como achar 4 com a equação anterior

 φ(m=2^3) = 2^(3-1)*(2-1) = 4*1 = 4

Então faremos isso para (a) e (b)

m*(1-1/2) = 4
m = 8


m = (2^(s(2^(2^n1) +1)

 φ(m=2^a) = 2^(a-1)*(2-1)


2^2 =  φ((2^s(2^(2^n1) +1)) = (2^s(2^(2^n1) +1)-1)*(2-1) = 2^(s(2^(2^n1)+1)-1)*1

(s(2^(2^n1)+1)-1)*1 = 2
s(2^(2^1)+1)-1)*1 = 2
s*2^2 + s - 1 = 2
4s + s - 1 = 2
5s = 3
s = 3/5

m = 2^(3/5)*(2^(2^1) +1) = 8

Agora (b)

φ(m) = 2^3
2^3 = (1-1/2)*m
m = 16

(s(2^(2^n1)+1)-1)*1 = 3
(s(2^(2^2)+1)-1)*1 = 3
(s(2^(4)+1)-1)*1 = 3
2^4s + s - 1 = 3
2^4s + s = 4
s = 4/(2^4+1)

m = 2^s(2^(2^2) +1) = 16

Olá. Muito obrigada por responder, agradeço de verdade. Eu encontrei o gabarito da questão e para (a) m = {5,8,10,12}

E para (b) m = {15,16,20,24,30}
Mas ainda continuo sem compreender muito bem.

Basta fazer isso que eu falei: usar a função de Euler. Sua foto tem uma equação diferente da postada, mas basta fazer aquilo.

Perceba que (2^2ni+1) precisam ser primos distintos, ou seja, você vai ter m's como 2^8*3*5, outros 2^8*17*3*5, enfim, basta ir substituindo e colocando na fórmula.

Um usuário tinha postado essa outra forma da função que eu coloquei aí em cima.

Medeiros

Olá Radium

essa função \varphi (n) eu não conheço. Depois, com tempo, vou ver o link que indicaste; grato por isso.
Segue a foto da qual falei. É livro do prof. Antônio Marmo de Oliveira, 1a. edição -- 1968.




já para "e" temos também outro limite:
\\ e = \lim_{n\to0}\left(1+n \right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty } \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n

Obrigada ; )