Função Phi de Euler - Urgente!!

por Kinha2016 Sáb 19 Out 2019, 20:06

Amigos, já tentei de várias maneiras, mas não estou conseguindo fazer esse exercício: confused

Seja n = p²q², com p e q primos distintos e φ a função Phi de Euler. Determine n, sabendo que:

(a) φ(n) = 936;

(b) φ(n) = 2200.

Agradeço desde já!! Função Phi de Euler - Urgente!! 503132

por Emersonsouza Sáb 19 Out 2019, 23:12

Lembre-se da seguintes propriedades :
*Para QUALQUER NÚMERO PRIMO n o φ será φ(n)=n-1
*Se n é primo e k é natural para φ(n^k)= (n^(k-1))(n-1)
*Se n=X*Z,vale o seguinte
φ(X*Z)= φ(X) * φ(Z) --> φ(n)= φ(x)* φ(Z)
Obviamente se X e Z são primos aí será φ(X-1) * φ(Z-1)
Para o nosso primeiro caso temos :
n=p²q²
φ(p²q²) = φ(p²) * φ(q ²)

como p e q são primos e 2 é natural ,vale a seguinte relação:
φ(p²q²) = p^(2-1 )*(p-1)*q^(2-1)(q-1)

φ(n)=p^(2-1 )*(p-1) *q^(2-1)(q-1)

936=( p*(p-1))*( q*(q-1))
Como, p e q são primos distintos ,vamos fatorar o 936 para tirarmos algumas conclusoes
13*(2^3)*3^2=( p*(p-1))*( q*(q-1))
Como temos uma igualdade podemos fazer o seguinte :
(13*3*(2^2))*(2*3)=p*(p-1))*( q*(q-1))
Não faz diferença a ordem ,isto é ,q=x e p=y ou p=x e q= y dá no mesmo.
Assim podemos dizer que :
13*3*(2^2)= p*(p-1)) --> p= 13 ou p= 3
E
2*3= ( q*(q-1))--> q= 2 ou q= 3
P=3 e q=3 não pode ser pois p e q são primos distintos
Considerando p=3 ,temos:
13*(2^3)*3^2= 3*2*( q*(q-1)) --> ( q*(q-1))= 13*4*3
Como q não pode ser igual a p e é primo só nos resta uma opção: q=13

n= (q*p)^2=( 13*3)^2= 39^2= 1521

Bom, acho que é isso,caso houver algum erro,desculpe-me pois eu não sou muito bom em função de Euler.

Tente fazer a letra B com base na A,qualquer dúvida estamos aí!

por **Medeiros** Dom 20 Out 2019, 00:04

Emerson

na passagem assinalada, porque não aparece a parte que indico a vermelho?

Função Phi de Euler - Urgente!! Scree553

por Emersonsouza Dom 20 Out 2019, 00:15

Tens razão Medeiros ,vou editar .
Obrigado,pela correção.

por Emersonsouza Dom 20 Out 2019, 16:48

Medeiros escreveu:

Medeiros , resolvi a questão de outra forma ,eu até tentei resolver desta maneira,mas não consegui,fiquei travado nesta parte :
Pq(q+p) --> pq(φ(pq))
A propriedade não é φ(pq) = φ(q)*φ(p) ?

por **Medeiros** Seg 21 Out 2019, 00:10

Emerson

tens completa razão, "viajei"!

na verdade, não sei nada sobre a função phi, apenas segui o que você explicou, não vi como continuar e me confundi naquele ponto que você questionou.

vi o novo caminho que você seguiu e achei que foi uma abordagem inteligente.