Hipérbole

Determinar a equação da hipérbole que tem as seguintes propriedades: 

a) tem seu centro na origem;
b) um de seus focos é F(0,-2)
c) um de seus pontos é P(1,v3)




Resposta: y²-x²=2

Uma hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y tem equação da forma:
y²/a² - x²/b² = 1
onde a, b > 0.

Essa hipérbole tem focos F1(0, c) e F2(0, -c), com c = 2. Sabendo que c² = a² + b², tem-se:
2² = a² + b² → b² = 4 - a² (*)

Como P(1, √3) é ponto dessa hipérbole, então:
(√3)²/a² - 1²/b² = 1 → 3b² - a² = a²b² (**)

De (*) em (**):
3(4 - a²) - a² = a²(4 - a²) → a = √2 ou a = √6

Em (*):
a = √2 → b² = 4 - (√2)² = 2 → b = √2
a = √6 → b² = 4 - (√6)² = -2 (absurdo!)

Logo, a = √2, b = √2 e a equação da hipérbole é:
y²/2 - x²/2 = 1 → y² - x² = 2

mauk03 escreveu:Uma hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y tem equação da forma:
y²/a² - x²/b² = 1
onde a, b > 0.

Essa hipérbole tem focos F1(0, c) e F2(0, -c), com c = 2. Sabendo que c² = a² + b², tem-se:
2² = a² + b² → b² = 4 - a² (*)

Como P(1, √3) é ponto dessa hipérbole, então:
(√3)²/a² - 1²/b² = 1 → 3b² - a² = a²b² (**)

De (*) em (**):
3(4 - a²) - a² = a²(4 - a²) → a = √2 ou a = √6

Em (*):
a = √2 → b² = 4 - (√2)² = 2 → b = √2
a = √6 → b² = 4 - (√6)² = -2 (absurdo!)

Logo, a = √2, b = √2 e a equação da hipérbole é:
y²/2 - x²/2 = 1 → y² - x² = 2

mauk. Aproveitando o tópico para tirar uma dúvida. O que exatamente é b? Eu aceitei a fórmula mas não entendi ao certo porque de c²=a²+b².   b é por definição um ponto em que sua distância a cada um dos focos é  metade da distância focal? Espero que essa última frase não tenha ficado muito confusa.

Emanuel Dias escreveu:mauk. Aproveitando o tópico para tirar uma dúvida. O que exatamente é b? Eu aceitei a fórmula mas não entendi ao certo porque de c²=a²+b².   b é por definição um ponto em que sua distância a cada um dos focos é  metade da distância focal? Espero que essa última frase não tenha ficado muito confusa.

Pra entender melhor o significado geométrico desses parâmetros recomendo que dê uma lida nesse link:
https://www.obaricentrodamente.com/2011/05/equacao-da-hiperbole.html

Resumidamente:
Por definição uma hipérbole é o conjunto dos pontos P(x, y) do plano cartesiano cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 (definidos como focos da hipérbole) é constante e igual a '2a', ou seja, |d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a, que, após simplificações algébricas, chega-se a conhecida equação da hipérbole. Já o 'b' não tem um significado geométrico tão direto quanto o 'a' e o 'c', mas resulta de uma relação Pitagórica com os comprimentos 'a' e 'c'.

mauk03 escreveu:

Emanuel Dias escreveu:mauk. Aproveitando o tópico para tirar uma dúvida. O que exatamente é b? Eu aceitei a fórmula mas não entendi ao certo porque de c²=a²+b².   b é por definição um ponto em que sua distância a cada um dos focos é  metade da distância focal? Espero que essa última frase não tenha ficado muito confusa.

Pra entender melhor o significado geométrico desses parâmetros recomendo que dê uma lida nesse link:
https://www.obaricentrodamente.com/2011/05/equacao-da-hiperbole.html

Resumidamente:
Por definição uma hipérbole é o conjunto dos pontos P(x, y) do plano cartesiano cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 (definidos como focos da hipérbole) é constante e igual a '2a', ou seja, |d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a, que, após simplificações algébricas, chega-se a conhecida equação da hipérbole. Já o 'b' não tem um significado geométrico tão direto quanto o 'a' e o 'c', mas resulta de uma relação Pitagórica com os comprimentos 'a' e 'c'.

Entendi perfeitamente a definição da hipérbole, a dúvida era no porque a diagonal do triângulo de catetos a e b é igual a metade da distância focal, mas essa imagem explica tudo. Muito obrigado!