Hipérbole

por Matheus José Ter 29 Dez 2015, 15:26

Determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto P(4V2,3) e tem os focos nos pontos F1(5,0) e F2(-5,0).

por **rodrigoneves** Ter 29 Dez 2015, 15:57

Os focos equidistam da origem. Logo, o "centro" da hipérbole coincide com a origem.
Os focos estão no eixo x; logo, o "eixo real" da hipérbole está na horizontal, portanto a equação será da forma
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
a^2 +b^2 = c^2
Onde c é a semidistância focal.
Nesse caso teremos c = 5:
a^2+ b^2= 5^2 \Rightarrow b^2 = 25-a^2
Agora substituímos o ponto dado na equação da hipérbole
\frac{\left(4\sqrt{2}\right)^2}{a^2} - \frac{3^2}{25-a^2} = 1
Vamos fazer a² = k, apenas por praticidade.
\frac{32}{k} - \frac{9}{25-k} = 1 \Leftrightarrow 32(25-k) - 9k = k(25-k) \Leftrightarrow 800 - 32k - 9k = 25k -k^2 \Leftrightarrow k^2 -66k + 800 = 0
Soma = 66, produto = 800. Raízes: 50 e 16. (poderia usar a fórmula também)
Portanto
a^2 = 50 \, \text{ou} \, a^2 = 16
No entanto, deveremos ter a² + b² = 25, portanto a² = 50 implicaria b² < 0. Assim, interessa apenas
a^2 = 16 \therefore b^2 = 25 - 16 = 9
Portanto, a equação da curva é
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1

por Matheus José Ter 29 Dez 2015, 16:19

Obrigado.

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