Cinemática- obtenção de fórmula

Um veículo se movimenta com velocidade inicial V0 em uma rodovia. Para dada distância X0 que esse veículo esteja do seu vizinho frontal, que está parado em um semáforo, encontre uma expressão para X, em que X= f(t) é a distância a ser percorrida pelo veículo em função do tempo em V, em que V= f(t) é a velocidade em função do tempo, para que num processo de desaceleração e frenagem a colisão seja evitada, ou seja, o veículo pare (considere a desaceleração do veículo como máxima e constante). O problema deve ser tratado a partir dos conceitos básicos de aceleração e velocidade instantâneas a= dv/dt e v= dx/dt.

Pré-requisitos: Cálculo diferencial integral a uma varável e fundamentos da física.

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Boa tarde galera! Será que alguém poderia me ajudar nessa questão, explicando a resolução da mesma?
Desde já muito obrigado!

Para aceleração 'a' constante (a < 0, pois está desacelerando), a velocidade é:
v(t) = ∫a.dt = at + C

Como v(0) = v0, então:
v0 = C
Assim, v(t) = at + v0.

A distância percorrida é dada por:
x(t) = ∫v.dt = ∫(at + v0)dt = at²/2 + v0.t + C

Como x(0) = x0, então:
x0 = C
Assim, x(t) = at²/2 + v0.t + x0.

Não entendi Mauk o pq do C uma hora ser a velocidade inicial e outra hora ser o descolamento. Se importa em explicar? Muito obrigado!

C representa a constante de integração (é apenas uma constante qualquer)

Entendi mauk03 , muito grato por compartilhar seu conhecimento. Muito grato mesmo!