Diedro, triedro,poliedro

por Thiago S.M. Ter 16 Jul 2019, 14:39

Dado um quadrado ABCD,toma-se AJ perpendicular ao plano do quadrado tal que AJ=AB. O angulo entre os planos AJC e BCJ vale:

a)90º
b)60º
c)45º
d)30º

Ps: resposta é letra "b", porem n consigo entender o pq,pois ,somente, acho 45(letra c)

por **Elcioschin** Qua 17 Jul 2019, 13:03

Uma figura para ajudar:

por Thiago S.M. Seg 22 Jul 2019, 17:18

então a resposta seria 45 graus?, pois se for, o gabarito do livro que eu tava resolvendo ta errado então,pois eu achei 45,porém estava 60 no gab

por **Medeiros** Seg 22 Jul 2019, 23:01

O gabarito do livro está correto, é 60°. E você não respeitou a regra do fórum para informar a resposta esperada.

por Thiago S.M. Seg 22 Jul 2019, 23:20

a desculpa n foi minha intensão desrespeitar essa regra.

por **Medeiros** Dom 28 Jul 2019, 02:12

Dado um quadrado ABCD, toma-se AJ perpendicular ao plano do quadrado tal que AJ=AB. O angulo entre os planos AJC e BCJ vale:

já faz algum tempo ... vou responder para deixar o tópico completo. Usa apenas teorema de Pitágoras, lei dos cossenos, e uma semelhança de triângulos. O mais difícil é visualizar a situação.

O ângulo de um diedro (\theta) é medido sobre um plano perpendicular a sua aresta de vértice. Nesta questão a aresta é CJ e o plano anotado no desenho é BPK. Para facilitar a visualização e cálculos, desenhei a planificação do diedro.

olhando para a planificação:

\\\underline{\triangle BCJ}: \; S = \frac{\overline{CJ}.\overline{BP}}{\cancel{2}} = \frac{\overline{BC}.\overline{BJ}}{\cancel{2}}\to\cancel{a}\sqrt{3}.h = \cancel{a}.a\sqrt{2} \;\to \;\boxed{h = a\frac{\sqrt{6}}{3}}

\\\triangle ACJ \equiv \triangle BCJ \;\;\to \;\; \overline{AQ}=\overline{BP}=h

\\\underline{\triangle ACQ}: \; \overline{CQ}^2 = \overline{AC}^2 - h^2 \;\to\; \overline{CQ}^2 = 2a^2 - \frac{2}{3}a^2 = \frac{4}{3}a^2 \;\to\; \boxed{\overline{CQ}=a\frac{2\sqrt{3}}{3}}

\\\underline{\triangle BCP}:\; \overline{CP}^2=\overline{BC}^2-h^2 \;\to\; \overline{CP}^2=a^2-\frac{2}{3}a^2=\frac{1}{3}a^2 \;\to\;\boxed{\overline{CP}=a\frac{\sqrt{3}}{3}}

\\\triangle CPK \sim \triangle CQA \;\;\to \\
\to\; 1)\;\; \frac{\overline{PK}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{CQ}} \;\to\; \overline{PK}=h\cdot \frac{a\frac{\sqrt{3}}{3}}{a\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{h}{2}\;\to\; \boxed{\overline{PK}=a\frac{\sqrt{6}}{6}}

\\\to\; 2)\;\; \frac{\overline{CK}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{CQ}} \;\to\; \frac{\overline{CK}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \;\to\; \boxed{\overline{CK}=a\frac{\sqrt{2}}{2}}

\\\underline{\triangle BCK}: \; \overline{BK}^2=\overline{BC}^2+\overline{CK}^2-2.\overline{BC}.\overline{CK}.\cos 45^{\circ}\\
\overline{BK}^2=a^2+\frac{a^2}{2}-2.a.a\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\;\to\;\overline{BK}^2=\frac{a^2}{2} \;\to\;\boxed{\overline{BK}=a\frac{\sqrt{2}}{2}}

agora olhando para o diedro em 3D:

\\\underline{\triangle BPK}: \\
\overline{BK}^2=\overline{PB}^2+\overline{PK}^2-2.\overline{PB}.\overline{PK}.\cos \theta \\
\frac{a^2}{2}=\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{6}a^2-2.a\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot a\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot\cos\theta \;\;\;\;\;\;\;\;(\div a^2)\\\\
\frac{2}{3}\cos\theta=\frac{1}{3} \;\to\; \cos\theta=\frac{1}{2} \;\to\;\boxed{\;\theta=60^{\circ}\;}