Derivadas

(fuvest - sp) A reta tangente ao gráfico de f(x) = x^2 / x^2 - 1 que passa pelo ponto ( 1, 1 ) tangencia o gráfico de f no ponto de abscissa:

resp: - 1/3

O objetivo é, tratando a reta tangente como uma função afim t(x)=ax+b, conseguir sua lei de formação para posteriormente igualar a função t à função f, assim obtendo o único ponto em que elas tem coordenadas de iguais (se tocam). É importante ressaltar que a derivada de uma função em um ponto coincide com o coeficiente angular da reta tangente a ele, ou seja, ao "a" de ax+b. Chamemos a abscissa do ponto que t(x) é tangente a f de c.

f(x)=\frac{x^2}{x^2-1} \Rightarrow f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-x^2(2x)}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x}{(x^2-1)^2} \Rightarrow f'(c)=\frac{-2c}{(c^2-1)^2}

Substituindo isso no coeficiente angular de t(x)=ax+b:

t(x)=(\frac{-2c}{(c^2-1)^2})x+b

O enunciado nos diz que a função t passa no ponto (1,1), isso significa que
t(1)=1=(\frac{-2c}{(c^2-1)^2})1+b \Rightarrow b=1+\frac{2c}{(c^2-1)^2} \therefore t(x)=(\frac{-2c}{(c^2-1)^2})x+1+\frac{2c}{(c^2-1)^2}=\frac{2c}{(c^2-1)^2}(1-x)+1

Igualamos f e t agora:

t(c)=f(c)=\frac{2c}{(c^2-1)^2}(1-c)+1=\frac{c^2}{c^2-1} \Rightarrow 2c(1-c)+(c^2-1)^2=c^2(c^2-1) \Rightarrow 2c-2c^2+c^4+1-2c^2=c^4-c^2 \Rightarrow 2c-3c^2+1=0 \Rightarrow c=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-6}=-\frac{1}{3}
Note que não consideramos c=1 porque f não é derivável neste ponto. Honestamente essa questão é impossível de fazer em uma prova com curta duração...

obrigado!