soma de inteiros consecutivos

Entre o numero 1000 e 2000 existe um unico numero que não pode ser escrito como a soma de naturais consecutivos, encontre esse numero.

Spoiler:

Nenhuma dica?

Essa é bem difícil e eu ainda não sei como resolver.

Eu sei que os números que podem ser escritos como soma de inteiros consecutivos devem ter a seguinte forma:

Mais um....

fazendo variar eu obtive como soma de inteiros consecutivos os números de com a única exceção do . Mas isso foi numa planilha programada em Excel, portanto uma "catação na unha" e além do mais seria forçoso prosseguir até 2000....

Dica: que tal tentar encontrar os numeros que podem ser escritos como a soma de algarismo consecutivos.

Victor M escreveu:Entre o numero 1000 e 2000 existe um unico numero que não pode ser escrito como a soma de naturais consecutivos, encontre esse numero.

Spoiler:

:Pgo

Bom ... como o Victor não postou a resolução vou postar:
Sabemos que números inteiros positivos só não podem ser escritos como a soma de pelo menos dois números naturais consecutivos se forem potências de 2.


Assim, é fácil ver que a resposta será 1024 = 2^10


(2^11 já passa do intervalo desejado e 2^9 é antes)

luiseduardo escreveu:Bom ... como o Victor não postou a resolução vou postar:
Sabemos que números inteiros positivos só não podem ser escritos como a soma de pelo menos dois números naturais consecutivos se forem potências de 2.


Assim, é fácil ver que a resposta será 1024 = 2^10


(2^11 já passa do intervalo desejado e 2^9 é antes)

do Luis Eduardo não procede, já que:


1) Os conjunto dos naturais, no Brasil, inclue o ZERO ( N = {0, 1, 2, 3 ...} ),
e o problema não cita números inteiros POSITIVOS ou não nulos, mas somente Naturais.

Logo, a citada afirmação, levando-se em consideração o enunciado do problema, não procede, já que 2^0 = 0 + 1

2) Ela é verdadeira para 2 inteiros positivos consecutivos sim, já que, para qualquer n inteiro positivo ( ou não...) :

( n ) + ( n + 1) = 2n + 1 ,

que é um número ímpar e jamais poderá ser uma potência de 2, já que, excetuando-se o já referido caso para n = 0, elas são sempre pares.

Mas este argumento não demonstra ou mesmo sequer induz que a soma para mais de 2 naturais consecutivos não pode resultar em uma potência de 2.

Para demonstrar isso, comecemos com a soma S de uma P.A. de primeiro termo a1, último termo an, razão r=1 e n termos, que nada mais é que a soma de qualquer quantidade de naturais consecutivos:

S = n * (a1 + an)/2

S = n * (Termo médio)

S = n * m

Sejam k e j naturais

Se n for um ímpar 2k+1, m será um natural j ( ex: 5; 6; 7; 8; 9 ), então n*m = (2k+1)*j poderá ser par ou ímpar.

Se n for um par 2k, m será racional na forma (2j+1)/2 ( ex: 5; 6; [6,5] 7; 8 ), então n*m = k*(2j +1) idem.

Poderemos formar qualquer ímpar ( (2k+1)*j ou k*(2j +1) ) e todos os pares que tem sempre como fator um ímpar,
o que impossibilita esses pares ( i.e. a soma ) ser uma potência de 2.

Conclui-se que, excetuando-se o ZERO e os naturais maiores que 1 e que são potências naturais de 2 , qualquer natural pode ser escrito como a soma de uma ou mais seqüências de 2 ou mais naturais consecutivos.

CQD.

Hã ? O que não procede ?
"Conclui-se que, excetuando-se o ZERO e os naturais maiores que 1 e que são potências naturais de 2" ???
Foi o que eu disse veja:
só não podem ser escritos como a soma de pelo menos dois números naturais consecutivos se forem potências de 2.
Acho que meu problema foi dizer "só", mas o resto ta procedendo sim.

Não é à toa que a resposta foi igual ao gabarito.