Soma de cubos números inteiros consecutivos

por Gustavo N Seg 15 Abr 2024, 19:17

Considere as seguintes afirmações:

I. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9

É possível subtrair 3abc da expressão? Visto que já ele já possuí o fator 3?

Assim, fatorando: 3K{(K-1)²+K²+(K+1)²-(K-1)K-(K-1)(K+1)-K(K+1)

por **Elcioschin** Seg 15 Abr 2024, 21:36

S = x³ + (x + 1)³ + (x + 2)³

S = x³ + (x³ + 3.x² + 3.x + 1) + (x³ + 6.x² + 12.x + 8 )

S = 3.x³ + 9.x² + 15.x + 9 ---> S = 3.(x³ + 3.x² + 5.x + 3)

S é múltiplo de 3

por Gustavo N Ter 16 Abr 2024, 12:34

Elcioschin escreveu:S = x³ + (x + 1)³ + (x + 2)³

S = x³ + (x³ + 3.x² + 6.x + 1) + (x³ + 6.x² + 12.x + 8 )

S = 3.x³ + 9.x² + 18.x + 9 ---> S = 3.(x³ + 3.x² + 6.x + 3)

S é múltiplo de 3

Sim, mas minha dúvida é se é possível subtrair 3x(x+1)(x+2) da expressão para provar que ela é múltipla de 3.

por **Elcioschin** Ter 16 Abr 2024, 12:57

Não entendi a sua fatoração. Por favor, mostre o passo-a-passo da sua solução.

por Gustavo N Qua 17 Abr 2024, 02:13

Elcioschin escreveu:Não entendi a sua fatoração. Por favor, mostre o passo-a-passo da sua solução.

a³+b³+c³-3abc= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

(x-1)³+x³+(x+1)³= 3(x-1)(x)(x+1)+3x...

Assim, apareceria o 3 em evidência.

por **Elcioschin** Qua 17 Abr 2024, 08:52

Pode subtrair sim.
Mas mostramos que a expressão é divisível por 3 e o enunciado pede para provar que é divisível por 9.

por Gustavo N Qua 17 Abr 2024, 13:47

Elcioschin escreveu:Pode subtrair sim.
Mas mostramos que a expressão é divisível por 3 e o enunciado pede para provar que é divisível por 9.

Só percebi agora Soma de cubos números inteiros consecutivos Lol

Segue a resolução correta:

(x-1)³+x³+(x+1)³=3x(x²+2)

I) x=3k

3(3k)(9k²+2)=9k(9k²+2)

II)x=3k+1

3(3k+1)(9k²+3+6k)= 9(3k+1)(3k²+1+2k)

III) x=3k+2

3(3k+2)(9k²+12k+6)=9(3k+2)(3k²+4k+2)