GEOMETRIA

Numa circunferência de centro O e raio AB=2R,prolonga-se AB até um ponto M,tal que BM=R.Traça-se uma secante MNS tal que MN=NS,onde N e S são os pontos de interseção da secante com a circunferência.Determine a área do triângulo MOS.

Vou supor que você queria dizer "Diametro AB = 2R".

Temos OB = BM = R, e também SN = NM.
Traçando-se OS e BN, observa-se que BN é a base média do triangulo OMS. Como OS = R, BN = R/2.
Seja A = [OBN] a área do triangulo OBN.
A = [OBN] = [MBN] pois tem a mesma altura e bases OB = BM = R.
Como [ONM] = [OBN] + [MBN], temos, [ONM] = 2A.
[ONM] = [ONS] pois tem a mesma altura e bases SN = NM. Logo [ONS] = 2A.
Como [MOS] = [ONM] + [ONS], temos [MOS] = 4A.

Vamos calcular agora o valor da área A, calculando o valor da área [OBN] = A.
BN = R/2, OB = ON = R.
Sendo P ponto médio de BN, faça OP = h.
(Pitágoras): h² + (R/4)² = R²
h = R * raiz ( 15 ) / 4
A = base * altura = (R / 4) * ( R * raiz(15) / 4 ) = R² raiz(15) / 16.
[MOS] = 4A = R² raiz(15) / 4.

R*3R = X*2X
3R² = 2X²
X² = 3R²/2

Triangulo AMR
(2R²) = (3X/2)² + (Z)²
4R² - 9X²/4 = Z²
4Z² = 16R² - 9*3R²/2
8Z² = 32R² - 27R²
Z² = 5R²/8

A area AMS é igual a soma das areas de AMR e ARS.

Sams = Z*(3X/2)/2 + Z*(X/2)/2
Sams = Z*3X/4 + Z*X/4
Sams = 4Z*X/4
Sams = Z*X
Sams²= (5R²/8.)*(3R²/2)
Sams² = 15R^4/16
Sams = R²*V15/4

Arimateib, sua solução está mais simples. Que programa você usa para as imagens?

muito obrigado aos dois...

Kranimpire escreveu:Arimateib, sua solução está mais simples. Que programa você usa para as imagens?

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