Teorema de Prithwijit De

por **arimateiab** Qui 28 Jul 2011, 23:05

Olá galera hoje quando acessei a área QUESTÕES FORA DE SÉRIE (RESOLVIDAS) vi esta questão: [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] , que foi resolvida pelo Jeffson Souza e da mesma forma meu professor resolveu uma
parecida (lados dos triângulos diferentes rsrs). Quando meu professor disse que pensava que esse tipo de questão só poderia ser resolvida dessa forma, eu
fui pra internet procurar novas soluções, e foi ai que encontrei o teorema de
Prithwijit De. Com esse teorema, por meio de uma formula, é possível calcular
o lado do triângulo equilátero apartir das distâncias de um ponto interior ao
triângulo aos seus vertices, sendo o Lado maior que as distâncias.
Como creio que muitos desconhecem esse teorema resolvi criar este tópico. Inclusive o nosso colega pointbrake postou hoje uma [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] à questão do Marcos

A Formula é a seguinte:

$3(a^4 + b^4 + c^4 + L^4) = (a^2 + b^2 + c^2 + L^2)^2$

Onde a, b e c são as distancias do ponto aos vertices e L o lado do triangulo.
A demonstração, em inglês, pode ser encontrada em:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

Bem, agora irei resolver a questão proposta pelo nosso colega Marcos, por meio
desse teorema.

a = 3
b = 4
c = 5

3(a^4+b^4+c^4+L^4)=(a²+b²+c²+L²)²
3(3^4+4^4+5^4+L^4)=(3²+4²+5²+L²)²
3(81+256+625+L^4)=(9+16+25+L²)²
3(962+L^4)=(50+L²)²
2886 + 3L^4 = 2500 + 100L² + L^4
2L^4 - 100L² + 386 = 0
L^4 - 50L² + 193 = 0
D = 2500 - 772 = 1728

L² = (50 + V1728)2
L² = (50 + V2^6*3²*3) 2
L² = 25 +12V3

L>0 e L>a,b,c

L = V(25+12V3)

Bem é isso :]