Bizu Teorema de Menelaus e Teorema de Ceva

Fala, pessoal.
Vou deixar aqui um tópico especial sobre dois teoremas muito fortes em relações métricas: o teorema de Menelaus e o teorema de Ceva. Tem um bizu muito forte que facilita a memorização, mas antes vou demonstrá-los:

I) Teorema de Menelaus:
Pense nesse teorema sempre que deseje analisar colinearidade de pontos:

Seja o triângulo ABC cortado pela reta FD na qual sua interseção com AB é E.
Se F, E e D são colineares, vale o teorema de Menelaus.

Primeiro, construa BP paralelo a AC. 
Assim, perceba que ∆BPD e o ∆FDC são semelhantes:
[latex]\frac{CD}{FC} = \frac{BD}{BP} -> \frac{FC}{CD}.\frac{BD}{BP}=1[/latex]

∆BPE e o ∆FAE também são semelhantes:
[latex]\frac{FA}{AE} = \frac{BP}{EB} -> \frac{AE}{FA}.\frac{BP}{EB} = 1[/latex]

Multiplicando as duas igualdades, chegamos no teorema:
[latex]\frac{AE}{FA}.\frac{BD}{EB}.\frac{FC}{CD} = 1[/latex]

Parece difícil de decorar, então para facilitar sua memorização é só pensar no seguinte:

Marque os vértices do triângulo com bolinhas e os pontos das retas com quadradinhos. Daí siga essa lógica: Comece em uma bolinha, toda bolinha vai para um quadradinho, todo quadradinho vai para uma bolinha e você não pode voltar para um quadradinho ou bolinha já visitado. Isso funciona para qualquer bolinha ou quadradinho escolhido, vou fazer um exemplo para testar:
Começando de A e indo para F:
[latex]AF[/latex]

De F só posso ir para C:
[latex]\frac{AF}{FC}[/latex]

De C tenho que ir para um quadrado, como F já foi vou para D:
[latex]\frac{AF}{FC}.\frac{CD}{}[/latex]

De D eu só posso ir para a bolinha B:
[latex]\frac{AF}{FC}.\frac{CD}{BD}.\frac{}{}[/latex]

De B eu vou para o quadrado E:
[latex]\frac{AF}{FC}.\frac{CD}{BD}.\frac{BE}{}[/latex]

Depois finalizo em A:
[latex]\frac{AF}{FC}.\frac{CD}{BD}.\frac{BE}{EA} = 1[/latex]

Repare que essa igualdade é equivalente à igualdade que encontramos anteriormente. Tente fazer outros casos começando de bolinhas diferentes e compare seu resultado para se familiarizar.

II) Teorema de Ceva:
Pense nesse teorema sempre que quiser analisar interseção de cevianas:

Se as cevianas se intersectam em P vale o teorema de Ceva.

Para demonstrá-lo é simples, basta aplicar o teorema de Menelaus em ACD cortado por BE (i) e ADB cortado por CF (ii).
(i): [latex]\frac{AE}{EC}.\frac{CB}{BD}.\frac{DP}{PA} = 1[/latex]

(ii): [latex]\frac{AP}{PD}.\frac{DC}{CB}.\frac{BF}{FA} = 1[/latex]

Multiplicando (i) e (ii), temos o teorema de Ceva:
[latex]\frac{AE}{EC}.\frac{DC}{BD}.\frac{BF}{FA}=1[/latex]

De novo, para memorizar basta fazer o mesmo desenho dos quadradinhos e das bolinhas:

A única diferença é que não podemos passar pelo ponto P. Daí, começando de C e indo para D:
[latex]CD[/latex]

Depois de D vamos para a bola B:
[latex]\frac{CD}{DB}[/latex]

De B para F:
[latex]\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{}[/latex]

De F para A:
[latex]\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}[/latex]

De A para E:
[latex]\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}.\frac{AE}{}[/latex]

De E para C:
[latex]\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}.\frac{AE}{EC} = 1[/latex]

Agora só basta aplicar 

João, caramba, tô sem palavras. Bizu mais que incrível, nem sei como agradecer. Muito obrigado mesmo, mostrei até para os meus amigos aqui. 

Safou demais! Vibrei muito, agradecido pela ajuda. 

Disponha, rapaziada.
Bons estudos para vocês! 

Amigos, visando contribuir com o aprendizado dos colegas e ampliar a bagagem do tópico, vejam oura forma de memorizar o teorema de Menelaus (do caracol para os íntimos kkkkkk)

Produto dos lados impares = produto dos lados pares (somando o 1° lado com o 2° antes)