pirâmides - geometria espacial

por JohnnyC Ter 21 maio 2019, 19:10

UFMG

A área total de uma pirâmide regular cuja base é um retângulo equilátero de lado a é 5 vezes a área da base. Calcule o volume dessa pirâmide.

R: (a³√15)/6

Pessoal, o seguinte, a ideia da questão eu peguei: teríamos que, inicialmente, calcular a área lateral (pois área total é = área lateral + área da base). No caso, a área lateral é igual a 4 vezes a área de cada face lateral triangular, certo ?
Pois bem.
Desenhando a figura, a gente percebe que o apótema da base (que, no caso, é um quadrado) vale metade da aresta. Logo, o apótema da base (vou chamar de Ab) vale a/2.
Daí, traçando a altura da pirâmide (vou chamar de h) e colocando o apótema da pirâmide (vou chamar de Ap), a gente faria um triângulo retângulo (sendo o Ap² = h² + Ab²).
Daí, para descobrirmos quanto vale a altura, a gente teria que, inicialmente, calcular o Ap. Porém, como iremos calcular se a questão não deu o valor do Ap ? As 4 faces laterais serão triângulos isósceles, assim, o apótema da pirâmide coincide justamente com a altura das faces laterais, de forma que conseguiríamos achar o valor da face lateral (e, obviamente, a área lateral que é 4 vezes a área da face lateral).

Daí, o restante eu resolvo. Alguém poderia me explicar como encontrar o apótema da pirâmide, por favor ? Obrigado.

por **Elcioschin** Ter 21 maio 2019, 19:24

Seja H o apótema de cada face e h a altura da pirâmide
Seja ABCD a base, V o vértice, M o ponto médio do lado AB e O o centro da base

AB = BC = CD = DA = a ---> AM = BM = OM = a/2 ---> VM = H ---> OV = h

Sb = a² ---> I
Sl = 4.(a.H/2) = 2.a.H ---> II
St = Sb + Sl ---> 5.a² = a² + 2.a.H ---> 4.a² = 2.a.H ---> H = 2.a ---> III

No triângulo retângulo VOM ---> OV² = MV² - OM² ---> h² = (2.a)² - (a/2)² ---> h = a.√15/2

V = (1/3).Sb.h ---> V = (1/3).a².a.√15/2 ---> V = a³.√15/6

por JohnnyC Ter 21 maio 2019, 19:27

Primeira vez que também vejo essa nomenclatura, Mestre. hahaha
É o mais óbvio que seja, sim, um quadrado. Vou anexar uma foto abaixo pra ficar mais simples a minha ideia de resolvermos a questão. No caso, a única dúvida seria em como achar o apótema da pirâmide, porque de resto eu faço aqui tranquilamente.

por JohnnyC Ter 21 maio 2019, 19:35

pera, Mestre, acho que vi minha falta de atenção. vou botar aqui no papel e, se sair, posto a foto.
se não sair, eu aviso, aguarda aí.

por JohnnyC Ter 21 maio 2019, 20:31

Mestre, saiu aqui. A questão é muito boa e "simples", o que me faltou foi botar o raciocínio no papel e ver se saía. A famosa preguiça me dando rasteira, hahaha.
Ta aí, Mestre. Obrigado.