Soma com tangentes

Se:



Então (x+y)/2 = _____.



Infelizmente não possuo gabarito.

Depois de umas 2 horas tentando fazer, desisti e mandei pra um amigo iteano, que rodou pra outros e enfim, um colega Felipe Freitas resolveu, aparentemente. Seu método foi escrever como um somatório, e trabalhar a expressão pra aparecer uma soma telescópica. Segue sua explicação na íntegra:
"Hmm, vc tem que escrever tg(x)/(1-3tg²(x)) = f(x) - 3f(3x)
Aí isso viraria uma soma telescópica que daria f(x) - 81f(81x)
81*8 = 648, e como a tangente é periódica em 180, tan(648) = tan(108).
Dada a função que tá no lado direito é natural chutar a expressão:
3tg(3x)-tg(x)
Aí é só correr pro abraço. Use
tg(3x) = sen(3x)/cos(3x) = (3sen(x)cos²(x)-sen³(x))/(cos³(x)-3sen²(x)cos(x))
tg(3x) = (3tg(x)-tg³(x))/(1-3tg²(x))
Agora:
3tg(3x) - tg(x) = (9tg(x)-3tg³(x)-tg(x)+3tg³(x))/(1-3tg²(x)) = 8tg(x)/(1-3tg²(x))
Logo, o termo na soma nada mais é que (3tg(3x)-tg(x))/8
Fazendo a soma telescópica, x=81/8, y = 1/8, e (x+y)/2=5"

Opa, muito obrigado, muito boa essa sacada ai, cheguei nem perto de pensar nisso XD. Vendo a resolução, consegui cartear aqui numa que eu estava tentando, é bem mais longa, mas se chegar no resultado ta valendo kkk, não irei colocar as contas tudo, para não ficar muito grande.

Primeiro perceba que:



Dai, aquela soma se transforma em:



Agora perceba que:



Aplicando umas vezes isso aqui de cima na soma, iremos encontrar:



Nessa passagem agora que vem a parte carteada kkkk, eu estava tentando somar e subtrair por itg(8°) ou por itg(108°), com i = qualquer número inteiro, nem quis usar i como não sendo inteiro, pensei que ia chegar em nada, mas depois que vi a resposta, tudo fez mais sentido.



Ai manipulando um pouco, iremos chegar em:



Encontrando os valores desejados.

Mais uma vez, muito obrigado!