Equação trigonometrica

por marcosprb Qua 27 Fev 2019, 20:42

Resolva a equação:
cos(a)-cos(x)=sen(x-a),a\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi
Gabarito:x=a+2k\pi \vee x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

por **Giovana Martins** Qua 27 Fev 2019, 21:12

\\-2sen\left ( \frac{a+x}{2} \right )sen\left (\frac{a-x}{2} \right )=sen(x-a)\\\\-2sen\left ( \frac{a+x}{2} \right )sen\left (\frac{a-x}{2} \right )=2sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )cos\left ( \frac{x-a}{2} \right )\\\\sen(-x)=-sen(x)\ \therefore \ sen\left ( \frac{-x-a}{2} \right )sen\left (\frac{x-a}{2} \right )=sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )cos\left ( \frac{x-a}{2} \right )\\\\sen\left ( \frac{-x-a}{2} \right )sen\left (\frac{x-a}{2} \right )-sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )cos\left ( \frac{x-a}{2} \right )=0\\\\sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )\left [ sen\left ( \frac{-x-a}{2} \right )-cos\left ( \frac{x-a}{2} \right ) \right ]=0\\\\sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )\underset{\mathrm{Prostaferese}}{\underbrace{\left [ cos\left (\frac{\pi }{2}+ \frac{x+a}{2} \right )-cos\left ( \frac{x-a}{2} \right ) \right ]}}=0\\\\sen\left ( \frac{x-a}{2} \right ) sen\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right )sen \left ( \frac{\pi }{4}+\frac{a}{2} \right )=0

Daí vem:

\\\\sen\left ( \frac{x-a}{2} \right )=0\to x=a+4k\pi \ \vee\ x=a+2\pi +4k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\\\sen\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right )=0\to x=-\frac{\pi }{2}+4k\pi \ \vee\ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi +4k\pi ,k\in \mathbb{Z}

por **Elcioschin** Qua 27 Fev 2019, 21:16

Prostaférese:

cos(a) - cos(x) = - 2.sen[(a + x)/2].cos[(a - x)/2] = - 2.sen[(x + a)/2].cos[(x - a)/2]

- 2.sen[(x + a)/2].cos[(x - a)/2] = sen(x - a)

[sen(x - a)].[1 + 2.cos[(x - a)/2] = 0

Temos duas possibilidades:

1) sen(x - a) = 0 ---> x - a = k.pi ---> x = a + k.pi

2) 1 + 2.cos(x - a) = 0 ---> cos(x - a) = - 1/2 ---> x - a = 2.pi/3 ou x - a = 4.pi/3 --->

x = a + 2.k.pi + 2.pi/3
x = a + 2.k.pi + 4.pi/3

Gabarito não está batendo.

Giovana: 2.sen(k/2).cos(k/2) = senk ---> Acontece que os dois arcos não são os mesmos: a + x ≠ a - x

Além disso: cosp - cosq = - 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

por **Giovana Martins** Qua 27 Fev 2019, 21:28

"Giovana: 2.sen(k/2).cos(k/2) = senk ---> Acontece que os dois arcos não são os mesmos: a + x ≠ a - x"

Verdade, fui fazendo rapidinho e acabei não notando isso. Perdão, marcos Embarassed

"Além disso: cosp - cosq = - 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]"

Élcio, dei uma pesquisada aqui, e cosp - cosq equivale a cosp - cosq = - 2.sen[(p + q)/2].sen[(p - q)/2].

Veja: https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html

por marcosprb Qua 27 Fev 2019, 21:35

Um colega me enviou a resolução do solucionário desse livro (Irei postar em imagens)

por **Giovana Martins** Qua 27 Fev 2019, 21:44

O que eu fiz está errado? Me pareceu igual Shocked

Agora eu fiquei confusa Razz

por **Elcioschin** Qua 27 Fev 2019, 22:05

Bem esquisito

Eis uma cópia do livro do COC (última linha de Prostaférese):

Testando para p = 60º e q = 30º, com este livro

cos60º - cos30º = - 2.sen[(60º + 30º)/2].cos[(60º - 30º)/2]

1/2 - √3/2 = - 2.sen45º.cos15º

(1 - √3)/2 = - 2.(√2/2).[(√6 - √2)/4]

(1 - √3)/2 = - √2.(√6 - √2)/4

(1 - √3)/2 = (- √12 + 2)/4

(1 - √3)/2 = (- 2.√3 + 2)/4

(1 - √3)/2 = (- √3 + 1)/2

Meu livro está certo!

por marcosprb Qua 27 Fev 2019, 22:09

Elcioschin escreveu:Bem esquisito

Eis uma cópia do livro do COC (última linha de Prostaférese):

Testando para p = 60º e q = 30º, com este livro

cos60º - cos30º = - 2.sen[(60º + 30º)/2].cos[(60º - 30º)/2]

1/2 - √3/2 = - 2.sen45º.cos15º

(1 - √3)/2 = - 2.(√2/2).[(√6 - √2)/4]

(1 - √3)/2 = - √2.(√6 - √2)/4

(1 - √3)/2 = (- √12 + 2)/4

(1 - √3)/2 = (- 2.√3 + 2)/4

(1 - √3)/2 = (- √3 + 1)/2

Meu livro está certo!