Lei dos Senos

Uma longa estrada retilínea acompanha uma bela praia. Ao longe se vê uma enorme pedra dentro do mar. Lurdinha, curiosa, deseja saber qual a distância da pedra à estrada. Em um ponto da estrada, com ajuda de um teodolito*, Lurdinha verifica que a reta que liga o ponto onde ela está à pedra, forma um ângulo de 45º com a estrada. Após percorrer 5 km na estrada, Lurdinha para e, mais uma vez, com o teodolito, verifica que a reta ligando o ponto onde ela se encontra à pedra forma um ângulo de 30º com a estrada. Usando essas informações, após alguns cálculos, Lurdinha determina a distância procurada. Qual é essa distância, em quilômetros?

Você não está repeitando a Regra XII do fórum: Trigonometria é matéria do Ensino Médio.
Por favor, respeite todas as Regras em todas as suas próximas postagens.

Sejam E o ponto da estrada, em frente à pedra P, A o ponto onde o ângulo de visada é 45º e U o ponto onde o ângulo de visada é 30º

x = PE ---> AU = 5 ---> EU = d

tg(PÂE) = PE/AE ---> tg45º = x/d ---> d = x/tg45º ---> I

tg(PÛE) = PE/(AE + AU) ---> tg30º = x/(d + 5) ---> II

Calcule x

usando a lei dos senos

Obrigado pelo aviso e pelas respostas. Bom, consegui chegar a resposta por meio da lógica do mestre, mas não consegui pela leis dos senos. Segundo o gabarito, a resposta correta seria 5/(√3 + 1). Teria como me ajudar?

pelas minhas contas o gabarito que vc anuncia está errado.

faça o seguinte: substitua no desenho o valor de x dado pelo gabarito e calcule o arctg(Â); veja se encontra o dado ângulo de 30°. Se não encontrar, o gabarito está errado.

Sonim

Você deixou de respeitar mais uma Regra do fórum: você sabia o gabarito e não postou, junto com o enunciado (Regra XI)

Triângulo ACP é retângulo ---> A^PC = 60º ---> Lei dos senos APC:

PC/sen(PÂC) = (AC/sen(A^PC) ---> x/sen30º = (x + 5)/sen60º

x/(1/2) = (x + 5)/(√3/2) ---> x = (x + 5)/√3 ---> √3.x = x + 5 ---> √3.x - x = 5 --> x = 5/(√3 - 1) -->

x = 5.(√3 + 1)/(√3 - 1).(√3 + 1) ---> x = 5.(√3 + 1)/2

Pode ser que o senhores estejam certos, pois eu achei o gabarito na internet( meu livro não apresenta gabarito). Enfim, eu acabei pensando em um jeito diferente que pode ser a solução. Se pensarmos que o ponto C é um ponto que pode ser encontrado entres os pontos A e B, então teríamos a seguinte situação: a pessoa começa no ponto A que apresenta 45° com a estrada, logo em seguida ela continua andando e acaba passando pelo ponto C( que faz 90° com a estrada). Essa mesma pessoa, depois de passar pelo ponto P, chega ao ponto B que dista 5km do ponto A. Assim teríamos:
AC=x / CB= 5-x / PC=Y( o que queremos encontrar).
Usando a mesma lógica utilizada, descobriríamos que X=Y( já que temos que a Tg45°= Y/X ---> Y=X). Além disso, temos:
Tg30°= Y/5-X ----> 1/√3=Y/5-X (mas como Y=X)---->
5 - Y = √3Y ----> Y(√3 + 1) = 5 ---> X= 5/(√3 + 1)

Pode ser assim, Sonim. Com o ponto C entre A e B, chega-se ao gabarito. Não obstante, não resolvo para "chegar" no gabarito mas sim para atender ao enunciado.

Porém o enunciado que você forneceu não "amarra" essa interpretação, nem no texto nem com uma figura, e se há duas configurações possíveis deveriam haver duas respostas possíveis.

Concordo plenamente, Medeiros. Essa questão em específico foi muito mal eleborado por sinal.