Divisão harmônica

por Serg.io Seg 04 Fev 2019, 19:55

Numa divisão harmônica ABMN , se M divide internamente o segmento AB na razão 3/5, o ponto B divide externamente o segmento MN na razão :

Gabarito 1/4

por **Vitor Ahcor** Qua 06 Fev 2019, 17:25

Olá!

Note que N deve dividir exteriormente AB. Caso contrário: M≡N.

<--3x--><--5x-->
N A M B
*--------------*--------*-------*
<---3y--------><------2y---->

(i) AM  = 3 --->AM =  3BM .: AM=3x e BM=5x
BM 5 5

(ii) AN  = 3 --->AN =  3BN .: AN=3y e BN=5y
BN 5 5

(iii) Da figura é fácil ver que: 2y = 8x .: y = 4x

(iv) O que nos foi pedido :

BM = 5x
BN 5y

Utilizando a relação 3 concluímos que BM = 1
BN 4

Caso não entenda algum passo , ou até mesmo o desenho pode perguntar Smile

por **Vitor Ahcor** Qua 06 Fev 2019, 17:34

"Note que N deve dividir exteriormente AB. Caso contrário: M≡N."

Demonstração:

Suponhamos que existam dois ponto internos M e N que dividam A e B na mesma razão. Ou seja:

A M N B
*-------*------------*-----*

AM = AN
BM BN

AM +1 = AN +1
BM BN

AM + BM = AN + BN
BM BN

AB = AB
BM BN

BM = BN <-----> M≡N

por Serg.io Qua 06 Fev 2019, 19:00

vitorrochap2013 escreveu:"Note que N deve dividir exteriormente AB. Caso contrário: M≡N."

Demonstração:

Suponhamos que existam dois ponto internos M e N que dividam A e B na mesma razão. Ou seja:

A M N B
*-------*------------*-----*

AM = AN
BM BN

AM +1 = AN +1
BM BN

AM + BM = AN + BN
BM BN

AB = AB
BM BN

BM = BN <-----> M≡N