Fatoração.

Sejam a, b e c números reas não nulos tais que a + b + c = 0. Calcule os possíveis valores de:



Não possuo gabarito.
Para a+b+c=0, sei que a^3+b^3+c^3=3abc, mais tirando isso não enxergo nada.
Achei uma resolução de um problema semelhante, no fórum, usando polinômios simétricos mais acredito que essa não seja a ideia para essa questão.

Olá!

Minha tentativa: 

*Seja P(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c)= x^3 + x (ab+bc+ac) - abc 

*Seja S^n = a^n + b^n + c^n

Cálculo de  S^4 e S^5 através do Teorema de Newton:

(*)
S^4 + 0*S^3 + S^2 (ab + bc + ac) = 0
S^4 = - (a^2 + b^2 + c^2)*(ab+bc + ac)
S^4 = -2(ab + bc + ac)^2

(**)

S^5 + 0*S^4 + S^3 (ab + bc +ac) - S^2 (abc) = 0
S^5 = -S^3 (ab+ bc + ac) - 2abc (ab + bc + ac) 
S^5 = -3abc (ab + bc + ac) -2abc (ab + bc + ac)
S^5 = -5abc(ab + bc + ac)

* O que nos foi pedido é para simplificar a seguinte expressão:

E = (S^3)*(S^4)/(S^5)^2=

= 3abc*2(ab + bc + ac)^2/ [25(abc)^2 * (ab + bc + ac)^2] 

.: E = 6/25(abc)

Se errei em alguma coisa peço desculpas!

Como nós temos que a + b + c = 0, implica que

\left\{\begin{matrix}
& a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \\  
& a^5 + b^5 + c^5 = -5abc(ab + ac + bc)  \\
& a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+ac+bc)  \\
& (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=2(a^{4}+b^{4}+c^{4})
\end{matrix}\right.

Daí,

E = \frac{(a^3 + b^3 + c^3)(a^4 + b^4 + c^4)}{(a^5 + b^5 + c^5)^2}

E = \frac{(3abc)2(ab + ac + bc)^2}{\left[-5abc(ab + ac + bc)\right]^2}

E = \frac{6}{25abc}

Mais tarde eu provo essas identidades

Obrigado aos 3, embora a resolução do Matheus fosse o que eu estava procurando por que o exercício vinha em uma lista de fatoração, e eu não conheço as somas de newton, mesmo assim obrigado.
Matheus eu conheço as identidades que você usou menos a:

Agradeço se provar. 

Leo Consoli escreveu:Obrigado aos 3, embora a resolução do Matheus fosse o que eu estava procurando por que o exercício vinha em uma lista de fatoração, e eu não conheço as somas de newton, mesmo assim obrigado.
Matheus eu conheço as identidades que você usou menos a:

Agradeço se provar. 

Perdão, não havia notado que você havia especificado algo na sua postagem. De qualquer forma, quando for assim não crie ou postagem para uma mesma questão. Não há a necessidade de criar outra postagem igual nesses casos. Poste sua dúvida na postagem já existente.

Nota: optei por não bloquear a postagem porque ela já havia sido respondida pelo colega Vitor.

{a + b + c}⁵ = 0

{(a+b)+c}⁵ = 0

(a+b)⁵ + 5.(a+b)⁴.c + 10.(a+b)³.c² + 10.(a+b)².c³ + 5.(a+b).c⁴ + c⁵ = 0

Agora vem a parte trabalhosa, mas acho que deve dar para provar. Tente desenvolver.

Giovana Martins escreveu:

Leo Consoli escreveu:Obrigado aos 3, embora a resolução do Matheus fosse o que eu estava procurando por que o exercício vinha em uma lista de fatoração, e eu não conheço as somas de newton, mesmo assim obrigado.
Matheus eu conheço as identidades que você usou menos a:

Agradeço se provar. 

Perdão, não havia notado que você havia especificado algo na sua postagem. De qualquer forma, quando for assim não crie ou postagem para uma mesma questão. Não há a necessidade de criar outra postagem igual nesses casos. Poste sua dúvida na postagem já existente.

Nota: optei por não bloquear a postagem porque ela já havia sido respondida pelo colega Vitor.

Oi Giovana, eu conhecia a outra postagem do fórum que você mandou mais as questões são um pouco diferentes ( tanto é que os resultados são diferentes também) por isso criei uma nova.

Elcioschin escreveu:{a + b + c}⁵ = 0

{(a+b)+c}⁵ = 0

(a+b)⁵ + 5.(a+b)⁴.c + 10.(a+b)³.c² + 10.(a+b)².c³ + 5.(a+b).c⁴ + c⁵ = 0

Agora vem a parte trabalhosa, mas acho que deve dar para provar. Tente desenvolver.

Obrigado, vou tentar desenvolver aqui.

Elcio não consegui concluir a partir de sua dica mais achei um modo mais simples online: