Fatoração.2

Outro exercício me matando aqui.


Não sei o que fazer, pois não consigo enxergar um a³-b³ nem um (a-b)³... não consigo enxergar nenhuma fatoração aí.

ReplayBr escreveu:Outro exercício me matando aqui.


Não sei o que fazer, pois não consigo enxergar um a³-b³ nem um (a-b)³... não consigo enxergar nenhuma fatoração aí.

Boa tarde,

Em casos assim, experimente substituir x por valores como:
1, -1, 2, -2, ...

Se fazendo x igual a um desses valores tornar o polinômio nulo, então esse valor de x é uma das raízes do referido polinômio.

Fazendo x=1, obtém-se:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 = 1 - 2 + 1 - 8 + 8 = 0

A seguir, divide-se o polinômio por x-1, obtendo-se o quociente:
x³ - x² - 8

Como este quociente não dá para ser fatorado, fica:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 = (x-1).(x³ - x² - 8 )



Um abraço.

ReplayBr escreveu:A seguir, divide-se o polinômio por x-1, obtendo-se o quociente:
x³ - x² - 8

Como este quociente não dá para ser fatorado, fica:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 = (x-1).(x³ - x² - 8 )


Não entendi essa parte, poderia explicar passo à passo ? Grato.
Outra dúvida, isso foi divisão de polinômios? Se foi desenvolva para eu poder entender.

Edit: Estudei um pouco e já vi, porém como eu vou saber quais são as raízes? Devo ir testando uma por uma ? E se a raiz for tipo 4999 ou 1000000 ?

ReplayBr escreveu:

ReplayBr escreveu:A seguir, divide-se o polinômio por x-1, obtendo-se o quociente:
x³ - x² - 8

Como este quociente não dá para ser fatorado, fica:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 = (x-1).(x³ - x² - 8 )


Não entendi essa parte, poderia explicar passo à passo ? Grato.
Outra dúvida, isso foi divisão de polinômios? Se foi desenvolva para eu poder entender.

Edit: Estudei um pouco e já vi, porém como eu vou saber quais são as raízes? Devo ir testando uma por uma ? E se a raiz for tipo 4999 ou 1000000 ?

Bom dia,

Para se saber as raízes, começa-se substituindo "x" por diferentes valores inteiros, pequenos, positivos ou negativos: 1, -1, 2, -2, etc.

Como encontramos que x=1 anula o polinômio, então temos:
x=1
x-1=0

Assim, já sabemos que o fator (x-1) irá anular o polinômio em causa.
A seguir, dividimos o polinômio por (x-1).
Sei que essa divisão pode ser feita por Briot-Ruffini, mas não tenho prática nesse algoritmo; por isso, fiz a divisão manualmente:

x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________

Começa-se dividindo o primeiro termo do dividendo (x⁴) pelo primeiro termo  do divisor (x):
x⁴/x = x³

Escreve-se então x³ sob a chave:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
.................................. x³

Continuando, multiplica-se x³ por x-1 e escreve-se o resultado debaixo do dividendo, tomando cuidado de inverter todos os sinais:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³


Prosseguindo, faz-se a soma abaixo indicada:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³
---------
.... - x³

Baixa-se o termo seguinte do dividendo, escrevendo a seguir ao resto:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³
---------
.... - x³ + x²

A seguir, divide-se o primeiro termo do resto (-x³) pelo primeiro termo do divisor (x):
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³
---------
.... - x³ + x²

-x³/x = -x² e escreve-se esse quociente a seguir ao x³ que se encontra sob a chave:

x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x²
---------
.... - x³ + x²

Continuando, multiplica-se esse (-x²) por todo o divisor, escrevendo-se o resultado debaixo do resto, sem esquecer de sempre inverter os sinais, e faz-se a soma como indicado abaixo:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x²
---------
.... - x³ + x²
...... x³ - x²
-------------
............. 0

Agora, baixam-se os dois termos seguintes (isso porque não houve nenhum resto anterior):

x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x²
---------
.... - x³ + x²
...... x³ - x²
-------------
............. 0 - 8x + 8

Agora dividimos o primeiro termo desse resto (-8x) também pelo primeiro termo do divisor (x):
-8x/x = -8, valor que escrevemos sob a chave, em continuação à parte do quociente ali existente:

x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x² - 8
---------
.... - x³ + x²
...... x³ - x²
--------------
.............. 0 - 8x + 8

Em seguida, multiplicamos "-8" por todo o divisor -8.(x-1) = -8x + 1, escrevendo o resultado debaixo do resto, sempre sem esquecer de inverter todos os sinais:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x² - 8
---------
.... - x³ + x²
...... x³ - x²
--------------
.............. 0 - 8x + 8
................. + 8x - 8

Para finalizar, fazemos a soma costumeira:
x⁴ - 2x³ + x² - 8x + 8 |_x - 1___________
-x⁴ + x³ ...................... x³ - x² - 8
---------
.... - x³ + x²
...... x³ - x²
--------------
.............. 0 - 8x + 8
................. + 8x - 8
------------------------
........................... 0



Um abraço.