Raízes de equação com raiz quadrada

por Eltonschelk Ter 01 Jan 2019, 22:21

A equação x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x} tem como soma para suas raízes:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D)4;
E) 5.
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Encontrei soma 4. Alguém poderia explicar o porquê desse gabarito?

por Eltonschelk Ter 01 Jan 2019, 22:22

O gabarito, no caso, foi E) 5.

por **Giovana Martins** Ter 01 Jan 2019, 22:36

\\C.E.:\ x\geq 0\\\\x^{x^{\frac{1}{2}}}=x^{\frac{x}{2}}\to log\left ( x^{x^{\frac{1}{2}}} \right )=log\left ( x^{\frac{x}{2}} \right )\\\\x^{\frac{1}{2}}log(x)=\frac{x}{2}log(x)\to 2x^{\frac{1}{2}}log(x)=xlog(x)\\\\4xlog^2(x)=x^2log^2(x)\to \left [ 4x-x^2 \right ]log^2(x)=0\\\\\therefore \ 4x-x^2=0\ (1)\ \vee\ log^2(x)=0\ (2)\\\\(1):\ x=4\ \vee\ x=0\ \wedge\ (2):\ x=1\\\\S=4+0+1\to \boxed {S=5}

por **Giovana Martins** Ter 01 Jan 2019, 22:41

Um adendo: note que encontramos zero como sendo uma das raízes. Para x igual a zero na equação, 1=1, ou seja, nessa situação tomamos que zero elevado a zero equivale a 1. No ensino médio eu já vi questões que entendem zero elevado a zero como sendo 1. No ensino acadêmico zero elevado a zero é tido como uma indeterminação.