Representação trigonométrica de complexos
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Representação trigonométrica de complexos
por Gabriel lp Qui 27 Dez 2018, 15:57
a) Considere os complexos z=x+yi que satisfazem a condição |z - (1 - i)| = 1. Qual é o valor do argumento principal daquele que possui módulo mínimo?
b) Qual é o complexo z que satisfaz o item anterior?
b) Qual é o complexo z que satisfaz o item anterior?
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Giovana Martins Qui 27 Dez 2018, 16:39
Tem o gabarito?
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Giovana Martins Qui 27 Dez 2018, 16:54
Eu pensei em algo assim:
|z-(1-i)|=1 → |x+yi-1+i|=1 →|(x-1)+i(y+1)|=1
√[(x-1)²+(y+1)²]=1 → (x-1)²+(y+1)²=1
Sendo assim, os números complexos que satisfazem a equação estão contidos na circunferência de raio 1 e centro O(1,-1). O módulo de um número complexo corresponde à distância da origem do plano de Argand-Gauss ao afixo.
Agora, desenhe a circunferência e uma bissetriz dos quadrantes pares.
Seja A((2-√2)/2,(√2-2)/2) o ponto de intersecção da bissetriz dos quadrantes pares com a circunferência e que corresponde ao afixo do número complexo de menor módulo possível.
Portando: z=[(2-√2)/2]+i[(√2-2)/2)] cujo argumento corresponde a 7π/4.
|z-(1-i)|=1 → |x+yi-1+i|=1 →|(x-1)+i(y+1)|=1
√[(x-1)²+(y+1)²]=1 → (x-1)²+(y+1)²=1
Sendo assim, os números complexos que satisfazem a equação estão contidos na circunferência de raio 1 e centro O(1,-1). O módulo de um número complexo corresponde à distância da origem do plano de Argand-Gauss ao afixo.
Agora, desenhe a circunferência e uma bissetriz dos quadrantes pares.
Seja A((2-√2)/2,(√2-2)/2) o ponto de intersecção da bissetriz dos quadrantes pares com a circunferência e que corresponde ao afixo do número complexo de menor módulo possível.
Portando: z=[(2-√2)/2]+i[(√2-2)/2)] cujo argumento corresponde a 7π/4.
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Gabriel lp Qui 27 Dez 2018, 21:44
Está certo o que você fez, o único erro era que ele pedia o argumento mínimo, então este vale pi/4 rad.Giovana Martins escreveu:Tem o gabarito?
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Giovana Martins Qui 27 Dez 2018, 21:48
Mas a questão está pedindo o módulo mínimo, não? Para pi/4 o afixo é outro.
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Giovana Martins Qui 27 Dez 2018, 23:09
Muito obrigada pela imagem, Élcio. No momento estou impossibilitada de postar qualquer imagem.
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Mbssilva Sex 28 Dez 2018, 08:56
Pessoal. Na realidade o enunciado pede o argumento principal. Por definição, trata-se de um θ no intervalo ]-pi; +pi]. Apesar de estar certo o valor 7pi/4, ele não é o principal.
Mais uma coisa. Gabriel, quando você for represar o argumento de um z, e quiser se referir a um argumento qualquer, use arg(z). A notação Arg(z), que leva o A maiúsculo, é o argumento principal:
arg(z)=7pi//4
Arg(z)=-pi/4 <--- era o que a questão pedia
Isso acontece pois um número complexo tem infinito argumentos. Então na vdd, o arg(z) é 7pi/4 + 2kpi, k inteiro. Já argumento principal há apenas um. Então, no caso de uma questão aberta não especificar, você pode colocar os dois, e sempre lembrar do 2kpi, k inteiro.
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Mais uma coisa. Gabriel, quando você for represar o argumento de um z, e quiser se referir a um argumento qualquer, use arg(z). A notação Arg(z), que leva o A maiúsculo, é o argumento principal:
arg(z)=7pi//4
Arg(z)=-pi/4 <--- era o que a questão pedia
Isso acontece pois um número complexo tem infinito argumentos. Então na vdd, o arg(z) é 7pi/4 + 2kpi, k inteiro. Já argumento principal há apenas um. Então, no caso de uma questão aberta não especificar, você pode colocar os dois, e sempre lembrar do 2kpi, k inteiro.
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Baixe o livro Análise Combinatória e Probabilidade do A.C. Morgado com o gabarito e o solucionário dos exercícios.
Link 1: https://drive.google.com/open?id=0B4rrFzh6MB34NlVpeEpMZEdYSWs
Link 2: https://mega.nz/#F!FcpEWTCC!XrlsFKcPNR3ePOFm3OVJsg
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Giovana Martins Sex 28 Dez 2018, 09:32
Acontece que o que ele citou era o pi/4 e esse não está certo.
Quanto a ideia do argumento principal, ele pode ser um ângulo entre 0 e 2pi. Isso depende da literatura que você acompanha.
Quanto a ideia do argumento principal, ele pode ser um ângulo entre 0 e 2pi. Isso depende da literatura que você acompanha.
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Re: Representação trigonométrica de complexos
por Mbssilva Sex 28 Dez 2018, 10:44
Ah sim. Tlg. Eu vi que ele botou o pi/4 positivo. Não me referia a resposta dele, já tinha percebido que ele errou.Giovana Martins escreveu:Acontece que o que ele citou era o pi/4 e esse não está certo.
Quanto a ideia do argumento principal, ele pode ser um ângulo entre 0 e 2pi. Isso depende da literatura que você acompanha.
Quanto à literatura, deve ser isso msm.
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