Número complexo, representação trigonométrica

por Stanley Rick Dom 23 Out 2016, 21:59

Dados os números complexos z₁ = 1, z₂ = –i e z₃ = z₁ + z₂, a forma trigonométrica de (z₃)² é?

Resposta:

Olá, estou com dificuldades de chegar à essa resposta (posta em spoiler para caso alguém queira tentar antes), gostaria de saber onde estou errando na lógica.

Nessa primeira tentativa, admiti pela "leitura" que iria elevar primeiramente o z₃ao quadrado e depois encontrar sua forma trigonométrica, e admitindo também que √2 ≈ 0,978..., para usar sua identidade ao final, mas a √2 de p ainda fica lá.
z^{2}=\left ( 1-1i \right )^{2}
z^{2}=-2i
|z|=p=\sqrt{(0)^{2}+(-2)^{2}}
p=\sqrt{2}
\sin \theta = \frac{-2}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}
\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{2}}=0
z_{3}=\left ( \sqrt{2} \times\cos(0)+\sqrt{2}\times\sin(-\sqrt{2})i \right )
z_{3}=\sqrt{2}\left ( \cos\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{3\pi}{2}i\right )

Errei feio em algum lugar, gostaria de saber onde. Desde já agradeço.

Resposta correta:

z^{2}=\left ( 1-1i \right )^{2}

z^{2}=-2i

|z|=p=\sqrt{(0)^{2}+{\color{Red} (-2)^{2}}} <--- aqui estava o erro

p=\sqrt{4}

p=2

\sin \theta = \frac{-2}{2}=-1

\cos \theta = \frac{0}{2}=0

z_{3}=\left ( 2 \times\cos(0)+2\times\sin(-1)i \right )

z_{3}=2\left ( \cos\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{3\pi}{2}i\right )

por EsdrasCFOPM Dom 23 Out 2016, 22:10

Geralmente, resolve questões de potenciação de número complexo pela primeira fórmula de moivre.

$z_3=1-i \ ; \ |z|=\sqrt{2} \ ; \ \theta=\frac{7\Pi}{4} \\\ Moivre \\\\ (z_3)^2=(\sqrt{2})^2.(cos\frac{2.7\Pi}{4}+isen\frac{2.7\Pi}{4}) \\\\ (z_3)^2=2.(cos\frac{7\Pi}{2}+isen\frac{7\Pi}{2}) \rightarrow \boxed {(z_3)^2=2.(cos\frac{3\Pi}{2}+isen\frac{3\Pi}{2})}$

por Stanley Rick Dom 23 Out 2016, 22:31

Etendi o que você fez, mas acontece que isso foi em um vestibular, a resposta postada é ela mesma e a parte R(z)=1 e a parte Im(z)=-1 mesmo.

por **Elcioschin** Dom 23 Out 2016, 22:55

z3 = z1 + z2 ---> z3 = 1 - i

(z3)² = (1 - i)² ---> (z3)² = 1 - 2.i + (-i)² ---> (z3)² = - 2.i

Solução que leva ao mesmo resultado do gabarito, já que cos(3.pi)/2 = 0 e sen(3.pi/2) = -1

por Stanley Rick Dom 23 Out 2016, 23:13

Mas mestre, e a √2 de p (ao final da primeira tentativa)? Se aplicarmos na fórmula de Moivre os denominadores serão cancelados, não?
(z_{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}\left ( \cos2\cdot \frac{3\pi}{2} + \sin2\cdot \frac{3\pi}{2}i\right )