Fatorial e Polignac

por gabriel10zika Seg 17 Dez 2018, 09:07

Seja P o produto dos 100 primeiros inteiros positivos impares,encontre o maior inteiro k tal que P e divisível por 3^k

Gab=49

por **Elcioschin** Seg 17 Dez 2018, 11:50

1, 3, 5, .......... ---> PA com a₁ = 1, r = 2 ---> a₁₀₀ = 1 + (100 - 1).2 ---> a₁₀₀ = 199

O valor ímpar menor que 199, divisível por 3 é 195 = 65.3¹

Múltiplos ímpares de 3

3 = 3¹, 9 = 3², 15 = 5.3¹, 21 = 7.3¹, 27 = 3³, 33 = 11.3¹, 39 = 13.3¹, 45 = 5.3², ......., 195 = 65.3¹

Complete a lista e multiplique as potências de 3. Lembre-se que a^b.a^c = a^b+c

por **Mateus Meireles** Seg 17 Dez 2018, 12:03

P = \prod _{k= 0}^{99} {2k + 1}

O problema se resumir a descobrirmos quantos "3" há nesse produtório

E isso é fácil de ver, pois

\prod _{k= 0}^{32} 3(2k + 1)

Contando, agora, os "3" que aparecem na forma de quadrado,

\prod _{k= 0}^{10} 9(2k + 1)

Na forma de cubo,

\prod _{k= 0}^{3} 27(2k + 1)

E, por fim,

\prod _{k= 0}^{0} 81(2k + 1)

A resposta é 33 + 11 + 4 + 1 = 49

por gabriel10zika Seg 17 Dez 2018, 13:17

Obrigado a todos.Consegui fazer de uma forma mais tranquila no meu entendimento
p=200!/2.100!
o expoente de 3 na fatoração de 200!=97
o expoente de 3 na fatoração de 100!=48
logo,97-48=49

por **Mateus Meireles** Seg 17 Dez 2018, 14:14

gabriel10zika escreveu:Obrigado a todos.Consegui fazer de uma forma mais tranquila no meu entendimento
p=200!/2.100!
o expoente de 3 na fatoração de 200!=97
o expoente de 3 na fatoração de 100!=48
logo,97-48=49

Gabriel, P não pode ser escrito dessa forma, veja:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=200!%2F(2x100!)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cprod+_%7Bk%3D+0%7D%5E%7B99%7D+%7B2k+%2B+1%7D

por renan2014 Seg 17 Dez 2018, 14:40

Mateus Meireles escreveu:
gabriel10zika escreveu:Obrigado a todos.Consegui fazer de uma forma mais tranquila no meu entendimento
p=200!/2.100!
o expoente de 3 na fatoração de 200!=97
o expoente de 3 na fatoração de 100!=48
logo,97-48=49

Gabriel, P não pode ser escrito dessa forma, veja:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=200!%2F(2x100!)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cprod+_%7Bk%3D+0%7D%5E%7B99%7D+%7B2k+%2B+1%7D

Pode sim, ele apenas errou o expoente do 2 dividindo. Seria mais rápido usar formula de Polignac ou Legendre

por gabriel10zika Ter 18 Dez 2018, 17:34

renan2014 escreveu:
Mateus Meireles escreveu:
gabriel10zika escreveu:Obrigado a todos.Consegui fazer de uma forma mais tranquila no meu entendimento
p=200!/2.100!
o expoente de 3 na fatoração de 200!=97
o expoente de 3 na fatoração de 100!=48
logo,97-48=49

Gabriel, P não pode ser escrito dessa forma, veja:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=200!%2F(2x100!)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cprod+_%7Bk%3D+0%7D%5E%7B99%7D+%7B2k+%2B+1%7D

Pode sim, ele apenas errou o expoente do 2 dividindo. Seria mais rápido usar formula de Polignac ou Legendre