[UFU] Função Trígonométrica

por biologiaéchato Seg 26 Nov 2018, 15:58

Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x)=[cos x]^6 +[sen x]^6 pode assumir.

por **Matheus Tsilva** Seg 26 Nov 2018, 16:34

Kkkkk
Vou responder só por causa do seu Nick ahuahauaaua

Aí

Cos^6(x)+sen^6(x)

(Cos^2(x))^3 + (sen^2(x))^3

Tem uma fatoração para a soma de dois valores ao cubo , sendo então :

(Cos^2(x)+sen^2(x))(cos^4(x)-cos^2(x).sen^2(x)+sen^4(x))

(1).(cos^2(2x)+sen^2(2x)/4)

(1).(cos^2(2x)+(1-cos^2(2x))/4)

(1+3.cos^2(2x))/4

Para o valor máximo , teremos que ter cos^2(2x) com seu valor igual a 1 , máximo

Logo

Cos(2x)=1 ou cos(2x)=-1

Então o valor máximo é.:
1

E o valor mínimo é para cós(2x)=0

Logo

1/4.

por biologiaéchato Ter 27 Nov 2018, 13:06

Obrigado pela resposta amigo.
Você poderia me explicar porque sen⁴x+cos⁴x=cos⁴2x?

por **Matheus Tsilva** Ter 27 Nov 2018, 13:24

Mas isso não está na minha resposta ,
Olha
cos^4(x)-cos^2(x).sen^2(x)+sen^4(x)=

cos^2(2x)+sen^2(2x)/4

O que eu fiz foi somar e diminuir cos^2(x).sen^2(x), daí você fatora e consegue achar o resultado

Daí voce fatora (cós^2(x)-sen^2(x))^2 e depois voce multiplica por 4 e divide por 4 pra achar o sen^2(2x).

Coloque em um papel e veja , olhar a resolução e ver o que eu fiz é complicado , redija em um papel a resolução e os passos que eu disse aqui....

por biologiaéchato Ter 27 Nov 2018, 13:46

Eu estou fazendo aqui no papel.

Não entendi como você desenvolveu (sen⁴x+cos⁴x), mas entendi a parte de -cos²x*sen²x

sen2x=2sen x*cosx
-(sen2x)²=-4sen²x*cos²x
[-sen²2x]/4

por **Elcioschin** Ter 27 Nov 2018, 13:50

Propriedade de fatoração:

a³ + b³ = (a + b).(a² - a.b + b²)

Basta fazer a = cos²x e b = sen²x

por biologiaéchato Ter 27 Nov 2018, 14:14

Entendi essa parte, Élcio, o que não entendi mesmo foi o prosseguimento de cos⁴+sen⁴

por **Matheus Tsilva** Ter 27 Nov 2018, 14:34

Eu somei e diminui
Aí fica assim.:

Sen^4(x)+cos^4(x)-2.sen^2(x).cos^2(x)+cos^2(x).sen^2(x)

Eu coloco no produto notável os três primeiros termos acima :

(Cos^2(x)-sen^2(x))^2+cos^2(x).sen^2(x)
Cos^2(2x)+cos^2(x).sen^2(x)

por biologiaéchato Ter 27 Nov 2018, 15:48

Consegui compreender tudo agora, muito obrigado Matheus.
Que questão difícil, hein?hahaha
Muito obrigado pela ajuda!
Grande abraço

por **Matheus Tsilva** Ter 27 Nov 2018, 15:52

A sim , eu fiz os processos rápido.

Talvez o que acontece , é a dificuldade em pensar o que pode ser feito na fatoração , com o tempo da pra pegar o jeito.
Abraço