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Função trigonométrica

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Mensagem por Marcilio_Lima Dom 21 maio 2017, 11:31

Determine o período e a imagem da função y = 3senx + 4cosx.

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Mensagem por igorrudolf Seg 22 maio 2017, 06:48

Tem um macete para resolver esse tipo de exercício:

y = a.sen(x) + b.cos(x) →  y =  √(a²+b²).sen (θ + x) ; θ = arctan (b/a)

Caso você não conheça, pode decorar, ou se quiser que demonstre, pode falar que é bem simples...

Com isso temos que y = 3sen(x) + 4cos(x) pode ser reescrito:
y = √(3²+4²). sen (θ + x) → y = 5sen(θ + x)

Sabendo que o seno de qualquer ângulo é sempre um valor entre -1 e 1, sabemos que y assumirá o máximo = 5 e mínimo = -5, portanto:
Imagem = [-5, 5]

Como não temos nenhuma constante multiplicando ''x'', o período será 2pi.

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Mensagem por Marcilio_Lima Ter 23 maio 2017, 10:00

igorrudolf escreveu:Tem um macete para resolver esse tipo de exercício:

y = a.sen(x) + b.cos(x) →  y =  √(a²+b²).sen (θ + x) ; θ = arctan (b/a)

Caso você não conheça, pode decorar, ou se quiser que demonstre, pode falar que é bem simples...

Com isso temos que y = 3sen(x) + 4cos(x) pode ser reescrito:
y = √(3²+4²). sen (θ + x) → y = 5sen(θ + x)

Sabendo que o seno de qualquer ângulo é sempre um valor entre -1 e 1, sabemos que y assumirá o máximo = 5 e mínimo = -5, portanto:
Imagem = [-5, 5]

Como não temos nenhuma constante multiplicando ''x'', o período será 2pi.

Olá Igor. Tentei aplicar esse macete à função y = 7cos(x) - 3sen(x) e não deu certo.

Marcilio_Lima
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Mensagem por igorrudolf Ter 23 maio 2017, 12:44

Olá Marcilio,


O senhor está correto, acredito que esse macete só funcione para funções da forma: y = a.sin(x) + b.cos(x), com a e b positivos

Nunca utilizei esse macete para expressões da forma que o senhor indicou, mas fazendo alguns testes, acredito que seja possível, fazendo uma pequena alteração. Para y = -a.sin(x) + b.cos(x), temos:
y = √(a²+b²) sin (θ - x)      ;    θ = arctan (-b/a)



Vou deixar a justificativa para o primeiro caso e fazendo manipulações o senhor conseguirá chegar em outros casos:


Seja y = a.sin(x) + b.cos(x) e o triângulo retângulo da figura:


Função trigonométrica Forum12


Vamos multiplicar e dividir  a.sin(x) + b.cos(x) por √(a²+b²)




Note ainda que no triângulo retângulo da figura temos:


sin (θ) = b / √(a²+b²)   
cos (θ) = a / √(a²+b²)


Assim podemos reescrever a nossa expressão:


√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ]


Além disso, sin (x+θ ) = cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x)


Portanto:
√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ] = √(a²+b²) . sin (x+θ)
--------------------------------------------------------------------------------------------


Para o caso que o senhor indicou, onde y = -a.sin(x) + b.cos(x), eu reescrevi -a.sin(x) como: a.sin(pi + x), chegando em: y = a.sin(x + pi) + b.cos(x) e, fazendo o procedimento acima, cheguei na expressão modificada...

Sinceramente não sei se a expressão que encontrei é válida para todos os casos, então gostaria que os colegas do fórum opinassem, pois só tenho certeza do caso mais básico mesmo.

igorrudolf
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