Fatoração de um polinômio de grau 3

por samuelmacedo Sáb 13 Out 2018, 11:34

Olá a todos.

Estava revisando fatoração de polinômios quando fiquei preso em um exercício. Se alguém puder me ajudar, agradeço desde já.

Exercício: Fatore o polinômio 2x³ + x² + 3x + 5

Para fazer isso eu parti de dois princípios:
P(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+ a₁x + a₀

'' Se P é um polinômio e P(b) = 0, então (x-b) é um fator de P(x)".

'' Seja \frac{m}{q} uma raíz racional irredutível do polinômio P(x), podemos afirmar que m é divisor de an e q é divisor de a₀"

Logo m poderia ser igual a:
1,-1,5,-5

q poderia ser igual a:
1,-1,2,-2

Portanto, a fração \frac{m}{q} pode assumir os seguintes valores:
1, -1, 5, -5, -1/2, 1/2, 5/2, -5/2

Como todos os termos estão se somando, a raiz não pode ser positiva, restando:
-1, -5, -1/2, -5/2

Porém, ao testar esses valores, nem um é raiz. Onde eu errei?

por **Giovana Martins** Sáb 13 Out 2018, 13:35

Esse polinômio está bugado. Suas raízes, de acordo com o Wolfram, são:

Fatoração de um polinômio de grau 3 Screen50

por **Elcioschin** Sáb 13 Out 2018, 13:51

Seu erro foi supor que existem raízes racionais na equação.

Para x = - 1 ----> 2.(-1)³ + (-1)² + 3.(-1) + 5 = +1
Para x = - 2 ----> 2.(-2)³ + (-2)² + 3.(-2) + 5 = -13

Existe uma raiz irracional no intervalo ]-2, -1[
As outras duas são raízes complexas