Fatoração de Polinômio de 4 grau

por **petras** Sex 13 Jan 2017, 09:57

Resolver:

x^{2}+\frac{81x^{2}}{(x+9)^{2}}=40

(Resposta do Wolfran( 1+/-√19 e -10+/-4i√5): Ele chega na seguinte fatoração: (x²-2x-18)(x²+20x+180) = 0 e a partir daqui fica fácil chegar as raízes mas não estou chegando a essa forma fatorada. )

por renan2014 Sáb 14 Jan 2017, 13:03

Eu sei resolver essa questão completando quadrado.

$x^{2}+\frac{81x^{2}}{(x+9)^{2}}=40$

O macete é completar para ficar $\left (x\,- \frac{9x}{x+9} \right )^{2}$ , pois depois vai ajudar a resolver o problema. Segue a resolução:
$x^{2}+\frac{81x^{2}}{(x+9)^{2}}=40$
$x^{2}+\left ( \frac{9x}{x+9} \right )^{2}=40$
$(x)^{2}-2.x.\frac{9x}{(x+9)}+\left ( \frac{9x}{x+9} \right )^{2}= 40 -2.x.\frac{9x}{(x+9)}$
$\left ( x - \frac{9x}{x+9}\right )^{2} = 40 -\frac{18x^{2}}{(x+9)}$
$\left ( \frac{x^{2}+9x-9x}{x+9}\right )^{2} =$
$\left ( \frac{x^{2}}{x+9}\right )^{2}= 40 -\frac{18x^{2}}{(x+9)}$

Sendo $y=\frac{x^{2}}{x+9}$ , temos que:

$y^{2}=40-18y$

y=2 ou y = -20

Daí é só substituir e descobrir os valores de x.

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