equação completa do segundo grau / Circunferência

Considere a equação completa do segundo grau Ax² + By² +Cxy +Dx +Ey + F = 0,  com A, B C , números reais. Mostre que se A=B ~= 0
 e C = 0 então a equação poderá ser um ponto, uma circunferência ou um conjunto vazio.


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Sua dúvida é puramente teórica: isto é explicado em qualquer livro/apostila ou mesmo na internet

C = 0

(A.x² + D.x) + (B.y² + E.y) + F = 0 ---> Fazendo B = A:

(A.x² + D.x) + (A.y² + E.y) + F = 0 ---> colocando A em evidência em cada termo:

A.[x² + (D/A).x] + A.[y² + (E/A).y] + F = 0 ---> : A

[x² + (D/A).x] + [y² + (E/A).y] + F/A = 0 ---> completando quadrados:

[x² + (D/A).x + D²/4.A²] - D²/4.A² + [y² + (E/A).x + E²/4.A²] -  E²/4.A² + F/A = 0

(x + D/2.A)² + (y² + E/2.A)² =  D²/4.A² + E²/4.A² - F/A

Se o 2º membro for 0 ---> Uam circunferência de raio zero ---> Um ponto P(-D/2.a, -E/2.A)

Se o 2º membro for positivo: uma circunferência com centro em P

Se o 2º membro for negativo: um conjunto vazio

Boa noite

Muito obrigada pela ajuda. Valeu!!!!