Soma máxima e mínima

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Soma máxima e mínima

Mensagem por Fernandin da Silva em Qua 13 Jun 2018, 11:27

Sob a condição 2x² + y² = 4, para números reais x,y, o valor máximo e mínimo de 4x + y² são:
Resposta > 6 e -4√2

Obs: Não tenho muita certeza se esse é o lugar correto para a questão, uma vez que não sei nem qual o assunto dela. Algo que não estudei, suponho.

Fernandin da Silva
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Re: Soma máxima e mínima

Mensagem por evandronunes em Qui 14 Jun 2018, 22:39

Para determinar o máximo e o mínimo de uma função com restrição, utiliza-se o Método dos Multiplicadores de Lagrange.

Seja f(x,y)=4x+y^2 e g(x,y)=2x^2+y^2.

O método de Lagrange, consiste em resolver o sistema:

\begin{cases}  & \triangledown f(x,y)= \lambda. \triangledown g(x,y) \\  & g(x,y)=4 \end{cases}

Ou seja,

\begin{cases}  & (4,2y)= \lambda. (4x,2y) \\  & 2x^2+y^2=4 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases}  & 4= \lambda. 4x \\ & 2y= \lambda. 2y \\  & 2x^2+y^2=4 \end{cases}

1º) Se y \neq 0, então \lambda=1, o que implica x=1.

Substituindo x=1 em 2x^2+y^2=4, vem que y=\pm \sqrt{2}. Assim, temos os pontos críticos (1,\sqrt{2}) e (1, -\sqrt{2}).

2º) Se y=0, então temos 2x^2+0=4, logo x=\pm \sqrt{2}. E os pontos crítico serão (\sqrt{2},0) e (- \sqrt{2},0).


Agora, basta verificar esses quatros pontos críticos na função f.

Temos:

* Para (1,\sqrt{2}) --------> f(1,\sqrt{2})=4.1+(\sqrt{2})^2=6

* Para (1,-\sqrt{2}) --------> f(1,-\sqrt{2})=4.1+(-\sqrt{2})^2=6

* Para (\sqrt{2},0) --------> f(\sqrt{2},0)=4.\sqrt{2}+0=4.\sqrt{2}

* Para (-\sqrt{2},0) --------> f(-\sqrt{2},0)=4.(-\sqrt{2})+0=-4\sqrt{2}


Portanto, ocorre um máximo em 6 e um mínimo em -4\sqrt{2}.



Obs: Essa questão, como você mencionou, ficaria melhor no Tópico de Cálculo.

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