Polígonos e diagonais - Preparatório ITA.

Num polígono regular convexo ABCDE...., 48 diagonais não passam pelo centro. Determine o ângulo BDG.
 
R: 105°

Total de diagonais = n.(n - 3)/2
Diagonais que passam pelo centro = n/2

Diagonais que não passam pelo centro = n.(n - 3)/2 - n/2

n.(n - 3)/2 - n/2 = 48 ---> n² - 4.n - 96 = 0 ---> n = 12

Trace o dodecágono: cada ângulo central vale 30º ---> AÔB = BÔC = C^OD = .... = 30º

Cada ângulo interno vale 150º: A^BC = B^CD = C^DE = DÊF =  E^FG = ... = 150º

Trace BD --> ∆ BCD --> C^BD = C^DB ---> C^BD + C^DB + B^CD = 180º --->

C^BD + C^DB + 150º = 180º ---> C^BD = C^DB = 15º

Trace BD --> No trapézio DEFG --> G^DE = D^GF --> G^DE + DÊF + E^FG + D^GF = 360º --->

G^DE + 150º + 150º _ D^GF = 300º ---> G^DE = D^GF = 30º

C^DB  + B^DG + G^DE = C^DE ---> 15° + B^DG + 30º = 150º ---> B^DG = 105º

Questão complicadinha de se desenhar eim  . Obrigado Elcio!

Diagonais que passam pelo centro = n/2

 Élcio, fiquei surpreso com essa fórmula, o senhor poderia por favor demonstrar como é possível chegar a isso?

Para uma diagonal passar pelo centro, o número de lados do polígono tem que ser par.
Além disso ela deve unir dois vértices opostos, isto é a a diagonal divide o polígono ao meio.

A diagonal AX é a mesma diagonal XA

Logo, para calcular o número de diagonais que passam pelo centro basta dividir o número de lados (ou de vértices) por 2

Por exemplo:

No quadrado ---> 2 diagonais que passam pelo centro
No hexágono ---> 3 diagonais que passam pelo centro
No octógono ----> 4 diagonais que passam pelo centro
E assim por diante

Muito obrigado! 

E não é tão difícil desenhar: existem inúmeros programas que fazem isto.
Eu usei o paint (os lados AB, BC, CD, DE, EF, FG são iguais, mas estão um pouco fora de escala. O ângulo de 30º está correto).