(PUC-SP) Questão sobre conjuntos numéricos.

(PUC - SP) - Qual é a afirmação verdadeira?

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional
c) O quadrado de um número irracional é um número racional
d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional
e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional




Fala que o gabarito é D, MAs não entendo porque não pode ser a A. Uma vez que se trata de dois numeros irracionais POSITIVOS sempre darão outros irracionais positivos. Alguém explica porque é a D e não a A. Cita um exemplo de racional que preencha os requisitos citados em A?

Olá.

Qualquer irracional pode ser escrito como ir = r + i', onde r é racional e i' irracional.
A) Falso.
2-√2 + 2-√2 = 4
D) Verdadeiro.
ir - N = r + i' - N, Na melhor das hipóteses, podemos ter que N = r + |_ i' _|, assim sobrará ir = i'', que é irracional entre -1 e 1(nunca zero).
Obs: |_  _| é mina notação de função piso.

Espero ter ajudado.

Correção: 2-√2 + 2+√2 = 4

Não entendi. ele não diz que os dois irracionais devem ser positivos? Porque os raiz de 2 estão com sinais opostos se é uma exigência do exercício que sejam positivos?

Olá. O número 2 - √2 é irracional E positivo, pois 2 > √2.
Perceba que podemos escrever o número 2 - √2 como uma soma de dois números, um deles racional e o outro irracional:
2 - √2 = r + i' = 0 + 0,5857864376269049511983112757903...
O mesmo serve para 2 + √2 = 3 + 0,4142135623730950488016887242097
Porém, 0,5857864376269049511983112757903... + 0,4142135623730950488016887242097 = 1.
Logo 3 + 1 = 4 que é racional.
Caso geral.

ir1 = r1 + i' > 0
ir2 = r2 - i' > 0
ir1 + ir2 = r1 + r2 > 0
Porém, nesse caso ir1 + ir2 é racional pois a soma de dois racionais sempre é um racional.

Espero ter ajudado.