Qual deverá ser a taxa de juros? (1)

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juro composto, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, e que objetiva obter um saldo de $ 55.750,60 no final do 36º mês, qual deverá ser a taxa mensal de juros?

R: 1,8%

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juro composto, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, e que objetiva obter um saldo de $ 55.750,60 no final do 36º mês, qual deverá ser a taxa mensal de juros?

R: 1,8%

Solução:

Como não compareceu nenhum interessado na solução, segue resposta.

Trata-se de uma série financeira postecipada de natureza aleatória. Como já dito, a forma de obter o seu valor futuro é calculá-los individualmente para cada termo, e realizar a soma dos mesmos.

Neste caso, a fórmula geral do valor futuro sob o regime de juros compostos é:

\\FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3+1}\\ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4+1} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5+1}

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5000
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3000
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12000
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10000
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7000

Meses:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = nº total de períodos de tempo (em meses) = 36

Taxa:
i = ?

Substituindo valores:

\\55750,68 = 5000\cdot(1+i)^{36-1+1} + 3000\cdot(1+i)^{36-9+1} + 12000\cdot(1+i)^{36-14+1}\\  + 10000\cdot(1+i)^{36-16+1} + 7000\cdot(1+i)^{36-25+1}

\\55750,68 = 5000\cdot(1+i)^{36} + 3000\cdot(1+i)^{28} + 12000\cdot(1+i)^{23} + 10000\cdot(1+i)^{21}\\ + 7000\cdot(1+i)^{12}

Resolvendo pelo método iterativo de Newton:

i(0) =  0.10000000000000000
i(1) =  0,03778670728206635
i(2) =  0,02210377156734467
i(3) =  0,01819805428385735
i(4) =  0,01800051145255566
i(5) =  0,01800000481307507

\boxed{ i \approx 1,8\%\;a.m. }