Cônicas - parábola

por Caio Fernandes Seg 05 Fev 2018, 10:02

O eixo de uma parábola está sobre a reta 3x - 2y + 6 = 0. Determine a equação da parábola, sabendo que a diretriz passa pelo ponto (3,1) e que a abscissa do vértice é 1.
Gabarito: 9x^2 + 4y^2 - 12xy - 16x - 102y + 439 = 0

por **LPavaNNN** Ter 06 Fev 2018, 16:32

a reta diretriz é perpendicular ao eixo:

$3x-2y+6=0\\y=\frac{3}{2}x+3\\m=\frac{3}{2}\\m.m'=-1\\\frac{3}{2}.m'=-1\\m'=-\frac{2}{3}\\d:y=-\frac{2}{3}.x+c$

a diretriz passa pelo ponto (3,1), logo:

$y=-\frac{2}{3}.x+c\\1=-2+c\\c=3\\d:y=\frac{-2}{3}x+3$

encontrando o ponto que as duas retas se cruzam:

$Q=(0,3)$

enccontrando o vértice da parábola:

$y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\\V=(1,\frac{9}{2})$

calculando a distância entre Q e V:, que a distância mínima entre a diretriz à parábola:

$d^2=1^2+(\frac{9}{2}-3)^2\\d^2=\frac{13}{4}$

a distância minima da diretri à parabola, tbm é a distância do vértice ao foco:

chamando o foco de F=(x',y')

$(x'-1)^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}$

o foco faz parte do eixo, então y'=3/2x'+3, substituindo:

$(x'-1)^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x'+3-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+\frac{9}{4}(x'-1)^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2=1\\x'=2,x'=0$

mas sabemos que a diretriz passa pelo ponto 0, então x'=2

$y'=\frac{3}{2}x'+3\\y'=6\\V=(2,6)$

agora ja temos todas informações pra encontrar a equação.

O lugar geométrico da parábla é definido como todos os pontos equidistantes da diretriz e do foco:

$d:2x+3y-9\\ D(F, P)=D(d,P)\\(x-2)^2+(y-6)^2=\frac{(2x+3y-9)^2}{2^2+3^2} \\13(x^2-4x+4+y^2-12y+36)=4x^2+9y^2+81+12xy-36x-54y \\9x^2+4y^2-16x-102y-12xy+439=0$

por Caio Fernandes Qua 07 Fev 2018, 14:31

Muito bom !
Excelente visão !
Obrigado ! ! !

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