Cônicas - parábola
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Cônicas - parábola
por Caio Fernandes Seg 05 Fev 2018, 10:02
O eixo de uma parábola está sobre a reta 3x - 2y + 6 = 0. Determine a equação da parábola, sabendo que a diretriz passa pelo ponto (3,1) e que a abscissa do vértice é 1.
Gabarito: 9x^2 + 4y^2 - 12xy - 16x - 102y + 439 = 0
Gabarito: 9x^2 + 4y^2 - 12xy - 16x - 102y + 439 = 0
Caio Fernandes- Iniciante
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Re: Cônicas - parábola
por LPavaNNN Ter 06 Fev 2018, 16:32
a reta diretriz é perpendicular ao eixo:
a diretriz passa pelo ponto (3,1), logo:
encontrando o ponto que as duas retas se cruzam:
 "Q=(0,3)")
enccontrando o vértice da parábola:
 "y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\\V=(1,\frac{9}{2})")
calculando a distância entre Q e V:, que a distância mínima entre a diretriz à parábola:
^2\\d^2=\frac{13}{4} "d^2=1^2+(\frac{9}{2}-3)^2\\d^2=\frac{13}{4}")
a distância minima da diretri à parabola, tbm é a distância do vértice ao foco:
chamando o foco de F=(x',y')
^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4} "(x'-1)^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}")
o foco faz parte do eixo, então y'=3/2x'+3, substituindo:
^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x'+3-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+\frac{9}{4}(x'-1)^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2=1\\x'=2,x'=0 "(x'-1)^2+(y'-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x'+3-\frac{9}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+(\frac{3}{2}x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2+\frac{9}{4}(x'-1)^2=\frac{13}{4}\\(x'-1)^2=1\\x'=2,x'=0")
mas sabemos que a diretriz passa pelo ponto 0, então x'=2
 "y'=\frac{3}{2}x'+3\\y'=6\\V=(2,6)")
agora ja temos todas informações pra encontrar a equação.
O lugar geométrico da parábla é definido como todos os pontos equidistantes da diretriz e do foco:
=D(d,P)\\(x-2)^2+(y-6)^2=\frac{(2x+3y-9)^2}{2^2+3^2}&space;\\13(x^2-4x+4+y^2-12y+36)=4x^2+9y^2+81+12xy-36x-54y&space;\\9x^2+4y^2-16x-102y-12xy+439=0 "d:2x+3y-9\\ D(F, P)=D(d,P)\\(x-2)^2+(y-6)^2=\frac{(2x+3y-9)^2}{2^2+3^2} \\13(x^2-4x+4+y^2-12y+36)=4x^2+9y^2+81+12xy-36x-54y \\9x^2+4y^2-16x-102y-12xy+439=0")
a diretriz passa pelo ponto (3,1), logo:
encontrando o ponto que as duas retas se cruzam:
enccontrando o vértice da parábola:
calculando a distância entre Q e V:, que a distância mínima entre a diretriz à parábola:
a distância minima da diretri à parabola, tbm é a distância do vértice ao foco:
chamando o foco de F=(x',y')
o foco faz parte do eixo, então y'=3/2x'+3, substituindo:
mas sabemos que a diretriz passa pelo ponto 0, então x'=2
agora ja temos todas informações pra encontrar a equação.
O lugar geométrico da parábla é definido como todos os pontos equidistantes da diretriz e do foco:
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Re: Cônicas - parábola
por Caio Fernandes Qua 07 Fev 2018, 14:31
Muito bom !
Excelente visão !
Obrigado ! ! !
Excelente visão !
Obrigado ! ! !
Caio Fernandes- Iniciante
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