Transformação em Produto

transforme em produto sen a + sen b + sen c   sabendo que a + b +c = pi, não consigo fazer de jeito algum !  R: 4cos a/2.cos b/2.cos c/2

A equação a + b + c = pi sugere que a, b, c são ângulos quaisquer de um triângulo.
Logo, ela vale para qualquer triângulo. Vamos então testar para um triângulo equilátero:

a = b = c = 60º ---> sena = senb = senc = √3/2 ---> sena + senb + senc = 3.√3/2

Testando a resposta:

4.cosa/2.cos(b/2).cos(c/2) = 4.cos60º/2.cos30º.cos30º = 4.(1/2)/2.(√3/2).(√3/2) = 4/3


Não está "batendo" com o gabarito. Por favor, confira enunciado e gabarito.

Utilize as transformações em produto e perceba que c = \frac{c}{2}+\frac{c}{2}.

 =2 \cdot \sin\frac{a+b}{2} \cdot \cos\frac{a-b}{2} + \sin \left ( \frac{c}{2}+\frac{c}{2} \right )

=2 \cdot \sin\frac{180-c}{2} \cdot \cos\frac{a-b}{2} + 2 \cdot \sin  \frac{c}{2} \cdot \cos \frac{c}{2}

=2 \cdot \sin \left ( 90-\frac{c}{2} \right ) \cdot \cos\frac{a-b}{2} + 2 \cdot \sin  \frac{c}{2} \cdot \cos \frac{c}{2}

=2 \cdot \cos \frac{c}{2} \cdot \cos\frac{a-b}{2} + 2 \cdot \sin  \frac{c}{2} \cdot \cos \frac{c}{2}

=2 \cdot \cos \frac{c}{2} \cdot \left [ \cos\frac{a-b}{2} +  \sin  \frac{c}{2} \right ]

=2 \cdot \cos \frac{c}{2} \cdot \left [ \cos\frac{a-b}{2} +  \cos  \frac{a+b}{2} \right ]

=2 \cdot \cos \frac{c}{2} \cdot \left (2 \cdot \cos\frac{a}{2} \cdot  \cos  \frac{b}{2} \right )

=4 \cdot \cos \frac{a}{2} \cdot  \cos\frac{b}{2} \cdot  \cos  \frac{c}{2} 

Elcioschin escreveu:A equação a + b + c = pi sugere que a, b, c são ângulos quaisquer de um triângulo.
Logo, ela vale para qualquer triângulo. Vamos então testar para um triângulo equilátero:

a = b = c = 60º ---> sena = senb = senc = √3/2 ---> sena + senb + senc = 3.√3/2

Testando a resposta:

4.cosa/2.cos(b/2).cos(c/2) = 4.cos60º/2.cos30º.cos30º = 4.(1/2)/2.(√3/2).(√3/2) = 4/3


Não está "batendo" com o gabarito. Por favor, confira enunciado e gabarito.

Mas é assim mesmo, ali em cima é cos de  (a/2) ao invés de (cos a) / 2, esqueci de por o parêntese e acabei criando confusão. 
se fizer assim para o triangulo equilátero vai dar certo. porém não sei como se chega na resposta sem conhecer o gabarito

1.
\[
A + B + C = \pi \implies \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right) \implies \sin \left( \frac{C}{2} \right) = \sin \left(  \frac{\pi}{2} - \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right)\right)
\]
Assim,
\[
\sin \left( \frac{C}{2} \right) = \cos \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right) \quad \land \quad \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) = \cos \left( \frac{C}{2} \right)
\]
2.
\[
\begin{align*}
S & = \sin (A) + \sin(B) + \sin(C) \\
& = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos\left( \frac{A-B}{2} \right) + \sin(C) \\
& = 2 \cos\left( \frac{C}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)  +2 \sin\left( \frac{C}{2} \right) \cos\left( \frac{C}{2} \right) \\
& = 2\cos\left( \frac{C}{2} \right) \left[ \cos\left( \frac{A-B}{2} \right)  + \sin\left( \frac{C}{2}  \right)\right] \\
& = 2\cos\left( \frac{C}{2} \right) \left[ \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A+B}{2} \right)\right] \\
& = 2\cos\left( \frac{C}{2} \right) \cdot 2 \cos \left( \frac{A}{2} \right) \cos \left(  \frac{B}{2} \right) \\
& = 4 \cos \left( \frac{A}{2} \right) \cos \left( \frac{B}{2} \right) \cos \left( \frac{C}{2}  \right)
\end{align*}
\]
Logo,
\[
\sin (A) + \sin(B) + \sin(C) = 4 \cos \left( \frac{A}{2} \right) \cos \left( \frac{B}{2} \right) \cos \left( \frac{C}{2}  \right), \quad A + B + C = \pi
\]